חידה

[lucy17]

חידה

מהו המספר הקטן ביותר כך שאם נעביר את הספרה האחרונה שלו לראשו נקבל את המספר המקורי מוכפל פי 9?

 

[איייייל]

חמוד מאוד ../images/Emo58.gif

10112359550561797752808988764044943820224719 אלא אם כן מרשים למספר להתחיל ב 0, ואז קיים פתרון יותר קטן: 01123595505617977528089887640449438202247191 נ.ב. הפעם לא פתרתי בעזרת google (למרות שבדיעבד ראיתי שהפתרון מופיע באינטרנט)

 

[lucy17]

גם אני חושבת כך (פתרון)

גם אני חושבת שזאת חידה חמודה. בהתחלה חשבתי שזה בטח מספר קטן יחסית, וכשפתרתי את החידה התפלאתי לגלות שהמספר הוא בן 44 ספרות! מעניין אותי מה היתה הדרך שלי. הדרך שלי הייתה להניח שהמספר הוא

10a+b​

בן n+1 ספרות. ואז

9(10a+b)=10^n b + a​

או

89a = (10^n-9)b = 9999....1 * b​

שיחקתי עם n עד שהחלוקה ב89 נתנה מספר שלם. בגלל שבבירור b הוא 9, מוצאים את a על ידי החלוקה וגמרנו.

 

[איייייל]

הפתרון שלי (קצת שונה)

קודם כל, כמו שאמרת, ברור שהמספר נגמר ב 9. לכן, כשמכפילים אותו ב 9 התוצאה נגמרת ב 1 - כלומר, המספר נגמר ב 19. לכן, כשמכפילים אותו ב 9 התוצאה נגמרת ב 71 - כלומר המספר נגמר ב 719 וכך הלאה... (ת'כלס עשיתי את זה בעזרת Excel) בכל מקרה, הדרך שלך יותר חמודה

דרך אגב, באתר הזה יש הפתרון של החידה הזאת כאשר ההכפלה היא לאו דווקא ב 9. אני חושב שהם פתרו את זה בדרך שלי (לפחות ככה זה נראה... אני לא כ"כ מבין רוסית)

 

[איייייל]

במחשבה שניה,

אני חושב שהם מציגים שם את שתי הדרכים.

 

[איייייל]

בעצם,

איך בדיוק ביצעת את החלוקה ב 89? עכשיו אני נזכר שבזמנו גם אני התחלתי לפתור ככה, אבל החל מ n מסויים המספרים התחילו להיות גדולים מדי, אז חיפשתי דרך אחרת...

 

[lucy17]

חילוק ארוך...

מה הכוונה "בזמנו" - הכרת את החידה קודם? עקרונית עשיתי חילוק ארוך (היה לי הרבה זמן...)

 

[איייייל]

WOW

אני ממש מעריץ אותך

ראיתי את החידה הזאת במוסף של "ידיעות אחרונות" לפני שנה בערך (נדמה לי ששם היחס היה 2 ולא 9, אבל העיקרון הוא אותו עיקרון)

 

[lucy17]

תודה!

אבל זו בסה"כ פעולה טכנית.

 

[איייייל]

עדיין... אני הייתי משתגע מזה

 

[yatir]

למה הוא חייב להסתיים ב-9?

 

[איייייל]

הסבר

כשמעבירים את הספרה האחרונה להתחלה מקבלים מספר בעל אותה כמות ספרות, אבל פי 9 יותר גדול. האפשרות היחידה לקבל שני מספרים בעלי אותה כמות ספרות כשאחד מהם גדול מהשני פי 9 היא שהמספר הקטן מתחיל ב 1 והגדול מתחיל ב 9 (אלא אם כן אתה מרשה למספר הקטן להתחיל ב 0).

 

[טלמון סילבר]

../images/Emo45.gif חידה נחמדה, פתרונות נחמדים!

לוסי, לאיזה פתרון התכוונתְ ב"סחיטת 71 מ-4 4-ים"?

 

[lucy17]

הפתרון שלי לארבע 4

הפתרון שאני התכוונתי אליו הוא:

71=(4!+4.4)/.4​

אבל יש עוד פתרונות, למשל:

4*4!-(sec(arctan(sqrt(4))))^4​

(למי שלא מכיר,

sec(x) = 1/cos(x)​

(הפונקציה נקראת סקאנס, וכמובן יש קוסקאנס שהוא אחד חלקי סינוס)

 

[lucy17]

אגב, מה לגבי החידה השניה של טלמון?

מישהו פתר את החידה של טלמון סילבר - להגיע באמצעות מספר טבעי a כלשהו לכל מספר טבעי הגדול ממנו???

 

[טלמון סילבר]

הערות.

א. נחמד

ב. הפתרונות הללו אינם משתמשים ב"ערך השלם" וזה מעלה את ערכם. עצרת אפשר לראות כפונקציה Г, רציפה ואנליטית, לעומת הערך השלם שזה כבר יותר מדי גס. ג. בפתרונות הללו מסתמן בבירור הפתרון לחידה 2: להגיע מכל מספר טבעי נתון [הרשום פעם אחת בלבד] אל כל מספר טבעי נתון אחר גדול ממנו.

 

[איייייל]

נפל הטלכרט! ../images/Emo58.gif

לכל x אי שלילי מתקיים

sec(atan(sqrt(x)))^2=x+1​

וכך אפשר להגיע מכל מספר שלם לכל מספר שלם אחר, גדול ממנו... אהבתי.

 

[fibonachi]

מה זה Sec

 

[איייייל]

תקרא 4 הודעות מעליך...

 

[lucy17]

כן, אבל

הבעיה היא שהחידה של טלמון אמרה שאתה צריך להגיע לכל מספר בעזרת a בלבד - ולכן אסור לך להעלות בריבוע....