חידה

[efratd]

חידה

חידה: שני אנשים יושבים זה מול זה, ועל מצחו של כל אחד מהם רשום מספר. האחד רואה את המספר על מצח האיש ממולו אך לא את המספר שעל מצחו שלו. מציעים להם לשחק משחק כדלקמן: בעל המספר הנמוך משלם לבעל המספר הגבוה סכום כסף הזהה למספר שעל מצחו שלו (של הראשון). טענה: שניהם יסכימו לשחק כיוון שהם יודעים כמה הם ירוויחו במידה וינצחו (המספר הרשום על מצח האיש שמולם) ובמידה ויפסידו הם יודעים שזהו סכום הנמוך מהמספר שעל מצח האיש שמולם (אחרת היו מנצחים) שאלה: כיצד יתכן ששניהם יסכימו לשחק ? כיצד יתכן שלשניהם תוחלות חיוביות ?

 

[איייייל]

לדעתי

הפתרון הוא שהחידה לא מוגדרת היטב: לכאורה, כל המספרים ב R הם שווי הסתברות, אבל זה לא מגדיר מידת הסתברות על R... ולכן המשפט "לשניהם תוחלות חיוביות" אינו נכון. פתרון די מאכזב...

 

[efratd]

מה דעתכם???????

 

[jaXon]

ולדעתי...

אייייל צודק. לא ניתן להגריל מספרים ממשיים בתחום לא חסום ולצפות שתהיה אחידות כלשהי. אין התפלגות שכזו. אם נאמץ את ההתפלגות המעריכית למשל (לכל משתתף רשום על המצח מספר המתפלג מעריכית, והם בלתי תלויים ושווי מקדם מעריכי), אז ניתן להוכיח (עם קצת עבודה נדמה לי) שתוחלת הרווח 0, כמצופה. זה גם קורה אם המספרים מוגרלים בתחום חסום באופן אחיד, אגב.

 

[jaXon]

אתם יודעים מה...

ניתן כנראה להוכיח שבתנאי המשחק, כל התפלגות בלתי תלוייה וזהה לשני המשתתפים תניב תוחלת רווח 0.

 

[freedom rider]

אוקיי - קצת פילוסופיה

השאלה היא האם מגרילים את המספרים לפני שהם מסכימים לשחק או אחרי. אם הם נשאלים לרצונם לשחק אחרי שהמספרים הוגרלו וחולקו, אז לאחד מהם יש הסתברות 0 לנצח והסתברות 1 להפסיד, ולשני - להיפך. כלומר, ההערכה שיש סיכוי של 50% לזכות ו-50% להפסיד מוטעית. אם לעומת זאת, מגרילים את שני המספרים באופן בלתי תלוי מאותה התפלגות, <b>אחרי</b> שהם הסכימו לשחק במשחק, אז אכן יש לכל אחד הסתברות של 50% לנצח ו-50% להפסיד, ותוחלת הזכיה של כל אחד היא אכן אפס. אני משאיר את ההוכחה בתור תרגיל לפורום.

 

[Fingertip]

אפשר לפרש את זה, למעשה, בתור

משחק שבו אתה יכול להרוויח X שקלים, או להפסיד X שקלים. אם מגרילים את המספרים מתוך תחום חסום בעל צפיפות אחידה, אחרי שבוחרים להשתתף, אזי ההסתברות אמורה להיות חצי חצי. לכן, גם התוחלת היא 0. אהד.

 

[freedom rider]

זה לא משנה התחום

לכל התפלגות רציפה F, אם X ו-Y הם משתנים מקריים מההתפלגות, אז 0.5=(P(X>Y .

 

[jaXon]

נכון. ולכל התפלגות בדידה גם.

בהנחה ששוויון מחייב סיבוב נוסף ואין מפסידים/מנצחים במקרה זה (כי במקרה הבדיד P(X=Y)>0)

 

[jaXon]

רק שכחת לציין ש XY חייבים להיות ב"ת

 

[freedom rider]

כן, כמובן - תודה על ההארה