חידה

[bendelac]

חידה

יתכן שכבר היתה פה. ניתן להוכיח ש 3=0. ראו קובץ מצורף!

 

[איגור קרסיק]

נחמד מאוד...

בהחלט בעיית גרירה חמודה.. את הפתרון אתן לאחרים לכתוב [למראת שרמזתי עליו].

 

[jaXon]

לוגיקה

חמוד מאוד. הפעם השגיאה איננה בתהליך ההיסק - שהוא תקין לגמרי, אלא בפרשנות של התוצאה. הפרשנות בלוגיקה של ההיסק הנ"ל היא : "קיים X המקיים את X^2+X+1=0 ===> שלוש=אפס" (ולא "שלוש=אפס") וכמסקנה מתבקשת מכך - אין למשוואה פתרונות. למעשה ניתן להגיע מכל אוסף טיעונים ללא פתרון לסתירות שונות ומשונות (כי לפי לוגיקה, תורה ללא מודל אינה קונסיסטנטית)

 

[איגור קרסיק]

לא מסכים...

נניח ומדובר במספרים מרוכבים, אז למשוואה הנ"ל יש פתרונות.

 

[jaXon]

נחדד את זה

השאלה היא באמת באיזה שדה עובדים : אם מדובר בממשיים בלבד - כל ההסקות תקינות. מגיעים לסתירה כי אין פתרון למשוואה המקורית. (בדיוק כפי שציינתי בהודעה הראשונה) אם מדובר במרוכבים - אזי ההיסק לא נכון - כיוון של X^3=1 ישנם 3 פתרונות, וב"הוכחה" יש שימוש רק באחד מהם. הגרירות הן חד כיווניות ולכן אין מניעה שאחד הפתרונות של משוואה זו לא יקיים את המשוואה המקורית. אנחנו מסכימים כעת ?

 

[טלמון סילבר]

ואם במקרה היה קיים פתרון ממשי?

אם x בריבוע ועוד x ועוד 1 שווה 0, אז גם x בחזקת 3 פחות 1 חייב להיות שווה 0, כמו גם כל פולינום אחר שמתקבל מהכפלת הפולינום המקורי בפולינום כלשהו.

 

[jaXon]

אם היה קיים פתרון

אז החידה היתה שונה לגמרי - ואז צריכים לבחון את כל הפתרונות של המשוואה האחרונה מול הראשונה. אבל במקרה שלנו ישנו רק פתרון אפשרי אחד למשוואה האחרונה (בממשיים) ולכן זה לגיטימי "לקחת" אותו למשוואה המקורית. (ראה פירוט תשובה לאיגור אם זה לא משכנע)

 

[איגור קרסיק]

כמעט

אינני מסכים שבמקרה הממשי כל ההסיקים נכונים. ההסיק האחרון שגוי שכן מה שהראינו הוא שאם x פותר את x^2+x+1=0 אזי הוא מקיים את x^3 = 1 ולא הראינו את ההיפך, ולכן אין שום סיבה שפתרון של x^3 = 1 יפתור את המשוואה המיקורית.

 

[jaXon]

ההסקה נכונה בכל זאת (בממשיים)

"ההוכחה" באמת מראה כיוון אחד, אבל היא בסך הכל טוענת : לכל x, אם x^2+x+1=0 אז x^3=1 (וזו טענה לוגית נכונה!) מטענה זו נובעת טענה לוגית אחרת, נכונה : לכל x, אם x^2+x+1=0 אז 1=0 זו טענה לוגית מהסוג : לכל x (שקר ==> ...) ולכן היא טענת אמת. לכן אינני רואה שום בעיה בהיסקים. מה שלא תקין הוא הפרשנות של התוצאה : לא הראנו ש 0=3, אלא שקיומו של x המקיים x^2+x+1=0 משמעה ש 0=3.

 

[ailag]

מעל R , מעל C

מעל R (המספרים הממשיים) לא תמיד חייב להיות פתרון למשוואה, יהיו פתרונות שנפסול. מעל C, לעומת זאת, חייבים להיות שני פתרונות לפולינום ממעלה שניה, שלושה לפוינום ממעלה שלישית והתיקון מצורף.

 

[bendelac]

לסיכום(הפתרון):

כמו שכתב ailag לפולינום ממעלה N יש N פתרונות. אך לפעמים הם כפולים ולפעמים מדומים (המשפט היסודי של האלגברה). לכן למשוואה הראשונה יש שני פתרונות שניהם מדומים. ולמשוואה הסופית יש שלוש פתרונות. ז"א שהוספנו פתרון (ע"פ המשפט היסודי של האלגברה) ופתרון זה הוא X=1. ז"א ששנים משלושת הפתרונות של המשוואה השניה מתאימים למשוואה הראשונה ואחד (X=1) לא!