חידה

[ןן גיל ןן]

חידה

על מעגל מגרילים שני מיתרים באופן אקראי. מה הסיכוי שהם ייחתכו?

 

[עריסטו]

איך מגרילים?

יש כמה דרכים לבחור מיתר אקראי. למשל, אפשר לבחור שתי נקודות על המעגל, אפשר לבחור נקודה בתוך המעגל + כיוון, אפשר לבחור נקודה על המעגל + כיוון, ועוד.

 

[דיברגנט חדש]

נראה לי שהוא התכוון לאפשרות א' שלך

 

[עריסטו]

אם כך

1/3

 

[ןן גיל ןן]

אכן. יש הוכחה?

 

[עעעערררר]

הסתכל על כל האפשרויות למיתרים שנוצרים ע"י אותן 4 נקודות

(שים לב שטיעון קלאסי ל הסתברות מותנית לא יעבוד, כי מתנים במאורע בסיכוי 0. צריך להשתמש במשפט החלפת המשתנים של אינטגרלים)

 

[ןן גיל ןן]

נכון.

אבל לא צריך באמת אינטגרלים. אפשר לתת הסבר של משפט אחד.

 

[עעעערררר]

אי אפשר בלי אינטגרלים. אחרי הכל, זו הסתברות...

הכותרת של ההודעה הקודמת שלי היא נימוק מקוצר,
אבל זה לא עובד (והתוכן מסביר למה) בלי אינטגרלים,
או לפחות בלי לציין שההתאמה בין המקרים עם חיתוך למקרים בלי חיתוך היא לא רק חד-דו ערכית, אלא גם שומרת מידה.

 

[ןן גיל ןן]

כוונתי היתה:

אפשר בלי חישובי אינטגרלים ספציפיים, אלא בהוכחה עקרונית המבוססת על תורת המידה (שמאחוריה רעיון אינטואיטיבי ברור).
ההוכחה מבוססת על הטענה הבאה: אם X מרחב הסתברות, x1,x2,..xn משתנים מקריים ב"ת ומפולגים אחיד במרחב X, ו- y1,y2..,yn מתקבלים מ- x1,x2,..xn על ידי הפעלת תמורה מקרית, אז ל- x1,...,xn ול- y1,..,yn אותה התפלגות משותפת.

 

[עריסטו]

כן

אם ארבע הנקודות הן A B C D לפי הסדר אז יש שלוש דרכים לחבר אותן, ורק באחת מהן המיתרים נחתכים.

 

[ןן גיל ןן]

 

[עריסטו]

חידת המשך

מחלקים את הנקודות 1, 2, 3, ..., 1000 על ציר המספרים ל- 500 זוגות באופן אקראי. כל זוג מגדיר קטע שקצותיו הם הנקודות בזוג. מה ההסתברות שיהיה קטע שחותך את כל הקטעים האחרים?

 

[עריסטו]

חידת המשך להמשך

מה ההסתברות שיהיה בדיוק קטע אחד בעל התכונה הנ"ל?

 

[עריסטו]

עוד חידה הסתברותית

בוחרים על קטע n נקודות אקראיות. לכל נקודה (חוץ משתי הקיצוניות) יש שכנה ימנית ושכנה שמאלית. כל נקודה חוץ מהקיצוניות מסתכלת ימינה ושמאלה, בודקת איזו שכנה קרובה יותר, וצובעת את הקטע שמחבר אותה לשכנה הזו בצבע צהוב. כאשר n שואף לאינסוף, למה שואף היחס בין סכום אורכי הקטעים הצהובים לאורך הקטע?

 

[ןן גיל ןן]

כל קטע נבחר בהסתברות 3/4 (חוץ מהקטע הראשון והאחרון, שהם זניחים). מלינאריות התוחלת, השטח הצהוב הוא (עד כדי קטעי הקצה) 3/4 * תוחלת סכום אורכי הקטעים. לכן היחס שואף ל- 3/4 (לפחות בתוחלת).

 

[עריסטו]

למה ההסתברות היא 3/4? המאורע "הקטע לא ייבחר על ידי הנקודה שמימינו" ו"הקטע לא ייבחר על ידי הנקודה שמשמאלו" הם לא בלתי תלויים.

 

[ןן גיל ןן]

צודק

 

[עריסטו]

בנוסף

אפילו אם ההסתברות של קטע להיות צבוע היתה 3/4, החישוב של התוחלת לא נכון כי אורך הקטע והצביעה תלויים זה בזה. למשל, נניח ששמים על הקטע 9 נקודות (וכך הוא מתחלק ל-10 קטעים). מבין הקטעים 1,2 צובעים את הארוך, מבין הקטעים 3,4 צובעים את הארוך וכו', ושואלים מה התוחלת של האורך הצבוע. אז לכל קטע יש הסתברות 1/2 להיות צבוע. האם נכון לומר שתוחלת האורך הצבוע היא 1/2?
מלינאריות התוחלת נובע רק שאם ההסתברות של קטע להיות צבוע היא 3/4, אז תוחלת מספר הקטעים הצבועים היא 3/4 ממספר הקטעים. אבל לא זו היתה השאלה.
למעשה, ההסתברות שקטע יהיה צבוע היא 2/3, כי הוא לא צבוע אם ורק אם הוא ארוך יותר משני הקטעים השכנים, ולכל תמורה של הקטע הזה ושני הקטעים השכנים יש "אותה הסתברות". אבל מזה לא נובע שתוחלת סכום אורכי הקטעים הצבועים היא 2/3 מאורך הקטע.