חידה

[king iverson]

חידה

היי, אשמח לעזרה פה:

במדינה שבה כל משפחה חייבת שיהיה לה בן אחד בלבד )כל משפחה מולידה עד שנולד לה בן זכר, ואז מפסיקה, מה יהיה היחס בין מספר הבנים לבנות?

 

[אורי769]

פשוט מאד

בהנחה שההסתברות ללידת בן או בת היא 50/50, אז יש 50% בנים ו-50% בנות. זה בכלל לא משנה מי ילד אותם.

 

[king iverson]

היי אורי

אני יודע שזאת התשובה, אבל עדיין אני לא מצליח להבין לחלוטין את ההסבר.
אין השפעה לעובדה שיהיו משפחות עם בן יחיד אבל לא יהיו משפחות עם בת יחידה? יש לך אולי הסבר אינטואיטיבי יותר?
&nbsp
תודה רבה

 

[אורי769]

בבקשה

להלן שלושה ניסויים בהסתברות:
ניסוי א: אני לבד מטיל מטבע חוקי הרבה מאד פעמים. נניח מליון פעם.
ניסוי ב: אותו הניסוי רק שאני בוחר אנשים באקראי שיטילו את המטבע במקומי.
ניסוי ג: אני בוחר מישהו שיטיל את המטבע במקומי. כל עוד יצא לו עץ הוא ממשיך להטיל. ברגע שיוצא לו פלי הוא מעביר את המטבע למישהו אחר שגם הוא מטיל עד שיוצא פלי וכך הלאה.

עכשיו נראה לי שאתה מסכים איתי שבכל הניסויים מספר הפעמים שיצא עץ זהה אסימפטוטית למספר הפעמים שיצא פלי. הרי מה זה משנה למטבע מי הטיל אותו? כמו שלמטבע זה לא משנה מי הטיל אותו גם לביצה לא משנה איזה תרנגולת הטילה אותה והיא תכיל אפרוח או אפרוחה בהסתברות של 50\50.

 

[king iverson]

תודה, הסבר מצוין

אגב, מה המשמעות של "זהה אסימפטוטית"? האם מדובר בזהה כשמספר התצפיות הוא אינסוף?

 

[אורי769]

כן

הרי זה עניין הסתברותי. באלף הטלות לא בהכרח יתחלק 500\500. למעשה הסיכוי שייתחלק בדיוק 500/500 הוא לא גבוה. אבל חוק המספרים הגדולים קובע שככל שנטיל יותר, היחס ישאף ל-50%/50%.

אגב, לפני כמה חודשים עלתה כאן השאלה הבאה: מהו הסכום האינסופי
sum (n=1 to inf) of n/2^n
כלומר הסכום
1/2 + 2/4 + 3/8 + 4/16 + 5/32 + ...
התשובה היא 2.
אפשר להוכיח את זה במספר דרכים. אחת ההוכחות האלגנטיות (שנדמה לי שהביא עריסטו) היה בעזרת החידה שלך.

 

[shccer]

עוזר לאינטואיציה לשים את זה על עת הסתברות

זה מראה בצורה די ברורה שהמשפחות עם בנים יחידים מתאזנות הסתברותית עם המשפחות עם כמה בנות ובן אחד (למשפחה יש 50% סיכוי להוליד בן, 25% להוליד בת ובן, 12.5% להוליד 2 בנות ובן וכן הלאה)

 

[shccer]

*עץ הסתברות

 

[עריסטו]

לוגיקה שחמטית

הוכיחו: אם במשחק שחמט אינסופי יש אינסוף מסעי שח, אז יש בו אינסוף מסעים שאינם מסעי שח.

 

[עעעערררר]

עוד

: צביעת מילים

נעסוק במילים מעל הא"ב {a,b} (כלומר, מילה היא רצף של סימנים מתוך a,b)
תבנית מילה, היא רצף של סימנים מתוך {a,b,?}, והיא מתאימה לכל המילים שמתקבלות ממנה ע"י החלפה של סימני שאלה באותיות a,b (כלומר, תבנית עם m סימני שאלה מתאימה ל-zzz2^m מילים)

יהיו m,r טבעיים. הראו שיש מספר n, כך שבכל צביעה של המילים באורך n ב-r צבעים, יש תבנית באורך n, המכילה m סימני שאלה, כך שהצבע של מילה שמתאימה לה תלוי רק במספר האותיות מכל סוג במילה (ולא בסדר).