חידה

[מiטקה]

חידה

הוכח ש
zzz (7+sqrt 50)^999 zzz
הוא מספר כלשהו שמיד לאחר הנקודה העשרונית יש לפחות 1000 אפסים ברציפות
במילים אחרות הוכח ש zzz (7+sqrt 50)^999 mod1 <10^-1000 zzz

 

[עריסטו]

פתרון

הפתרון מתבסס על כך ש -
(7+sqrt(50))^n+(7-sqrt(50))^n
הוא תמיד מספר טבעי (אם פותחים את הסוגריים לפי נוסחת הבינום כל המספרים האי-רציונליים מתבטלים; אפשר גם להוכיח כך -
(7+sqrt(50))^0+(7-sqrt(50))^0=2
(7+sqrt(50))^1+(7-sqrt(50))^1=14
(7+sqrt(50))^(n+2)+(7-sqrt(50))^(n+2)=
14[(7+sqrt(50))^(n+1)+(7-sqrt(50))^(n+1)]+
(7+sqrt(50))^n+(7-sqrt(50))^n
ולכן באינדוקציה אלו תמיד מספרים שלמים).
לכן
(7+sqrt(50))^999
שווה למספר טבעי כלשהו פחות
(7-sqrt(50))^999
כלומר למספר טבעי כלשהו ועוד
(sqrt(50)-7)^999<
(1/14)^999=
(1/14)^7*(1/14)^992<
(1/10)^8*(1/10)^992=
(1/10)^1000

 

[מiטקה]

יפה

בדיוק הדרך שבה פתרתי את זה.
מה שהדהים אותי זה שלכל x,y,n שלמים מתקיים
zzz (x+sqrt y)^n+(x-sqrt y)^n mod 1 = 0 zzz

 

[AnarchistPhilosopher]

מה מדהים בזה? אלו פתרונות של נוסחאות נסיגה עם תנאי התחלה

שלמים לכן הפיתרון הכללי שלהם חייב להיות מס' שלם.
&nbsp

 

[AnarchistPhilosopher]

אני אתקן, הפיתרון חייב להיות רציונלי אם המקדמים של נוסחת

הנסיגה הם מספר רציונליים.
&nbsp