חידה

[Halfbaked]

חידה../images/Emo70.gif

והפעם: אלגברה לינארית. A היא מטריצה מסדר n על n. כל הערכים על האלכסון הראשי של A הם n, וכל שאר הערכים הם 1. מהי הדטרמיננטה של A, כפונקציה של n? (למשל, עבור n=2 הטרמיננטה היא 3)

 

[דפנה ר]

תשובה...

(n-1)^(n-1) * (2n-1) או במילים תוצאת "אן" מינוס אחד בחזקת תוצאת "אן" מינוס אחד הכל כפול שני "אן" מינוס אחד דפנה

 

[Halfbaked]

תשובה ללא פתרון../images/Emo35.gif

את יודעת מהו הציון המקובל במקרה זה, נכון?

 

[דפנה ר]

100 כי המנחה יכול לראות את הטיוטה

הרעיון הוא לחסר את השורה הראשונה מכל השורות. להוסיף את העמודה האחרונה לראשונה, את הלפני אחרונה, וכו' בסוף נקבל מטריצה משולשית. נכפיל את איברי האלכסון הרבה עבודה שחורה... דפנה

 

[snogal]

יותר מהר

יש לה ע"ע אחד 2n-1 (סכום קבוע בכל שורה) ועוד אחד שהוא n-1, כי אז יש למעשה אחרי ההפחתה מטריצת אחדות שדרגתה 1 כלומר יש n-1 ו"ע בת"ל עבור אותו ע"ע==> ר"א של n-1 שווה לפחות ל n-1 , אבל אם הוא גדול מ n-1 נקבל שיש יותר מ n ע"ע (גם כאלה שחוזרים על עצמם) ==> ר"א של n-1 שווה ל n-1, מכאן גם אין יותר ע"ע . הדטרמיננטה היא מכפלת הע"ע ולכן

det=(n-1)*(n-1)*(2n-1)​

 

[snogal]

כמובן ש

det=(n-1)^(n-1)*(2n-1)​

כמו שדפנה ציינה.

 

[טלמון סילבר]

פתרון פרימיטיבי

מחברים אל השורה התחתונה את שאר השורות. עכשיו כל הערכים בשורה התחתונה הם 2n-1. מוציאים מחוץ לסוגריים 2n-1. עכשיו כל הערכים בשורה התחתונה הם 1. מחסירים את השורה התחתונה מכל שאר השורות. התקבלה מטריצה אלכסונית שכל ערכיה באלכסון הראשי הם n-1, חוץ מאשר בשורה התחתונה. מכפילים אותם ומתקבלת אותה תוצאה.

 

[Moridin]

היה לי במבחן בזמנו ../images/Emo13.gif

 

[Blade2]

יש לך עוד כאלו?

אשמח אם תביא עוד חישובי דטרמיננטות וחידות באלגברה ליניארית בכלל, זה תחום מאוד חביב לדעתי.

 

[דפנה ר]

בבקשה...

יהי B = {v1,v2,...,vn} zzzz בסיס ל R^n עבור אילו ערכי n הקבוצה C = {v1+v2,v2+v3,,...,vn+v1} zzzz מהווה בסיס ל R^n דפנה

 

[Blade2]

נסיון לפתרון

אם n זוגי אז אם נקח את הוקטור הראשון, נחבר את השני, נחסר את השלישי וככה עד הסוף נקבל 0 (קל לראות, מתקבל כמו מן טור טלסקופי כזה, רק שהאיבר האחרון הוא v1- (קל לראות) והאיבר הראשון v1. ולכן עבור n זוכי הקבוצה ת"ל ולא בסיס. אפ n אי זוגי, נסדר אותם כוקטורי שורה במטריצה, ונחשב דטרמיננטה. נחבר לשורה הראשונה את שאר השורות בסימנים מתחלפים. R_1 - > R_1 + (-1)^(n-1)*R_n קל לראות שנקבל 2v1 בשורה הראשונה. כעת נבצע על השורה השניה את אותו הדבר R_2 - > R_2 + (-1)^*R_n נקבל v_2 - v_1 ובעזרת חיבור חצי השורה הראשונה נקבל v2. באופן דומה (אוותר על פרטי ההוכחה באינדוקציה, אני חושב שזה די ברור מה לעשות פה), עושים על כל השורות כדי לקבל את איברי הבסיס B כשורות, לכן הדטרמיננטה שונה מ0. הדטרמיננטות שוות (צירוף ליניארי של שורות אינו משנה את הדטרמיננטה) ולכן הדטרמיננטה המקורית שונה מ0, ולכן הוקטורים המקוריים בת"ל, יש n וקטורים בת"ל במרחב ממימד n ולפי משפט ידוע הם בסיס.