חידה קלילה

[הפרבולה1]

נתון A מספר שלם שמתחלק ב 99 הוכח שגם המספר B עם ההצגה הפוכה של הספרות מתחלק ב 99 ( הכוונה ב "הצגה הפוכה" זה למשל אם A=1385 אז B=5831 )

 

[עריסטו]

חידת המשך
מספר טבעי n הוא בעל התכונה הבאה: לכל מספר שלם A שמתחלק ב-n, גם המספר B עם ההצגה הפוכה של הספרות מתחלק ב-n. הוכיחו: המספרים הטבעיים היחידים בעלי התכונה הנ"ל הם המחלקים של 99.

 

[עריסטו]

ועוד חידה דומה לרגל יום העצמאות ה-73 (באיחור קל) - אם A הוא מספר טבעי בן 8 ספרות שמתחלק ב-73, הוכח שגם המספר המתקבל מהעברת ספרתו האחרונה של A לראש המספר מתחלק ב-73. למשל: 48102109 מתחלק ב-73. נעביר את הספרה האחרונה לראש ונקבל 94810210 שגם הוא מתחלק ב-73.

 

[הפרבולה1]

ועוד חידה דומה לרגל יום העצמאות ה-73 (באיחור קל) - אם A הוא מספר טבעי בן 8 ספרות שמתחלק ב-73, הוכח שגם המספר המתקבל מהעברת ספרתו האחרונה של A לראש המספר מתחלק ב-73. למשל: 48102109 מתחלק ב-73. נעביר את הספרה האחרונה לראש ונקבל 94810210 שגם הוא מתחלק ב-73.

ההצגה של A היא abcdefgi ( כל אות מציינת סיפרה מתוך 8 ספרות ) אז ההפרש בין A ל B יצא לי

zzz A - B = 9*(A-11111111*i)/10 zzz

A-11111111*i מסתיים בסיפרה 0 ולכן מתחלק ב 10, A נתון שמתחלק ב 73 וגם 11111111 מתחלק ב 73 וכיוון ש 73 זר ל 10 אז ההפרש כולו מתחלק ב 73 ולכן גם B מתחלק ב 73.

 

[יוביוב הירוק]

אני מתקומם כנגד הביטוי "חידה קלילה", ומבקש להחליף ב-"חידה מתסכלת ומשבשת דעת".
לא רק שלא הצלחתי לפתור/להוכיח, אלא שהטענה (שכנראה נכונה), נוגדת לחלוטין את האינטואיציה שלי. לא הצלחתי להבין, ולו ברמת התחושה, איך היפוך ספרות, שהן לכאורה אקראיות, יוצר מספר עם תכונה ידועה מראש.
אגב, נראה שאותו משפט עובד גם עבור 999, ולתחושתי גם לשאר בני המשפחה.

אז אנא ההוכחה...

 

[הפרבולה1]

נסתכל על A עם מספר אי זוגי של ספרות נגיד 3 ספרות abc אז B=cba
למה שווה ההפרש A-B ?
zzz A-B =(100a+10b+c) - (100c+10b+a) = 99a-99c zzz

אז אם A מתחלק ב 99 ווהפרש בינו לבין B גם מתחלק ב 99 אז גם B מתחלק ב 99
זה עובד גם עם מספרים בעלי 5 7 9 ... ספרות.
אם יש מספר זוגי של ספרות אז צריך עוד טריק קטן ....

 

[עריסטו]

אני מתקומם כנגד הביטוי "חידה קלילה", ומבקש להחליף ב-"חידה מתסכלת ומשבשת דעת".
לא רק שלא הצלחתי לפתור/להוכיח, אלא שהטענה (שכנראה נכונה), נוגדת לחלוטין את האינטואיציה שלי. לא הצלחתי להבין, ולו ברמת התחושה, איך היפוך ספרות, שהן לכאורה אקראיות, יוצר מספר עם תכונה ידועה מראש.
אגב, נראה שאותו משפט עובד גם עבור 999, ולתחושתי גם לשאר בני המשפחה.

אז אנא ההוכחה...

החידה אכן קלילה: מספיק להוכיח ש"המספר ההפוך" מתחלק ב-9 וב-11. זה נובע מיידית מסימני ההתחלקות הידועים ב-9 וב-11.
הטענה לא נכונה לגבי 999. היא גם לא נכונה לגבי 9999, 99999 וכן הלאה. ראה "חידת ההמשך" הראשונה שלי.

 

[הפרבולה1]

איך היפוך ספרות, שהן לכאורה אקראיות, יוצר מספר עם תכונה ידועה מראש.

איפה אתה רואה פה "אקראיות ? הרי המספר ההפוך B נובע מהמספר המקורי A הוא לא סתם מספר אקראי שלא תלוי בבחירת A, אז כבר אפשר להגיד שאם A מתחלק ב 9 או 3 אז גם B מתחלק ב 9 או 3 כי סכום הספרות לא משתנה כשהופכים את ההצגה של מספר, וסכום הספרות זה קריטריון להתחלקות ב 9 ו 3.

 

[עריסטו]

הנה עוד חידת התחלקות.
מגדירים סדרה f(1). f(2), f(3), ... כך:
f(1)=7
f(1)+f(2)=49
f(1)+f(3)=343
f(1)+f(2)+f(4)=2401
וכן הלאה: לכל n טבעי, הכלל הוא ש-f(a)+f(b)+...=7^n, כאשר a,b וכו' הם מחלקיו של n. הוכיחו: f של n תמיד מתחלק ב-n.