חידה נחמדה

[pallidfool]

חידה נחמדה

יש להוכיח כי קבוצת הגבולות החלקיים של הסדרה a=sin איי אינדקס אן, כלומר האיבר ה-אן, שווה לסינוס אן היא הקטע הסגור ממינוס אחד עד אחד. ההוכחה מאוד דומה עבור סדרת הטנגנסים (רק שכאן הקבוצה היא הישר הממשי), וקוסינוסים. מיותר לציין שהחישוב כולו ברדיאנים. יש לי פתרון, אבל אולי תוכלו להביא אחד קצר יותר (למרות ששלי לא ארוך). דניאל.

 

[טלמון סילבר]

זה חלק ממשהו יותר כללי:

אם a מספר אי-רציונלי גדול מ-0 וקטן מ-1, אז קבוצת הגבולות החלקיים של הסדרה

a = <na> = na-[na]​

(החלק "השברי"(?) של na) היא הקטע הסגור [0,1]. ברור שבמקום "1" אפשר לקחת מספר חיובי כלשהו, ולומר ש-a חלקי המספר הזה הוא אי-רציונלי. במקרה שלנו המספר הוא 2 פי, ו-a זה 1. ופשוט משתמשים ברציפות של הפונקציות הטריגונומטריות. דוגמאות אחרות של השימוש ב"משהו היותר כללי הזה", שכבר היו בפורום: 1. פתרון החידה מאולימפיאדת HANANDN שקיימת חזקה מסויימת של איזשהו מספר שלם, אינני זוכר איזה, שהספרות השמאליות שלה בבסיס 10 מתחילות ממחרוזת נתונה (נדמה לי משהו כמו 2002). הפתרון בוסס על היחס האי-רציונלי בין לוגריתמים. 2. דוגמה אחרת היתה עם נקודות המפגש של שני מחוגי שעון, שהיחס בין מחזוֹריוּת סיבוביהם הוא אי-רציונלי.

 

[hanandn]

לא הבנתי

למה אתה מתעקש שהאולימפיאדה על שמי

 

[טלמון סילבר]

אתה מתנגד?

 

[hanandn]

שיהיה =)

פשוט קצת מוזר שלא הצלחתי לפתור את רוב השאלות, והיא על שמי... some math guy.

 

[טלמון סילבר]

אז תנסה את טנגנס מעלָה. יש פתרון

קצרצר.

 

[jaXon]

מגניב!

נכון. אם הטענה הכללית שציינת נכונה (עדיין לא חשבתי על הוכחה משכנעת) אז ההוכחה לחידה ספציפית זו תהיה : נניח (x(n הוא סדרת הxים המנורמלת, כלומר שווה ל: <n/2PI> (החלק השבור של n חלקי 2 פיי). (y(n הוא : ((sin(2PI*x(n צריך להוכיח כי קבוצת הגבולות החלקיים של (y(n היא הקטע [1,1-]. יהי y בתחום הסגור הנל. נוכיח כי y הוא גבול חלקי של (y(n. ראשית נבצע (arcsin(y ונקבל את x. את ה x ניקח לתחום 0 עד 2 פיי (אם הוא שלילי), ואח"כ ננרמל אותו לקטע 0 עד 1 ע"י חלוקה בשני פיי. בהתאם לטענה הכללית, קיימת תת סדרה של (x(n ש x הוא הגבול שלה, נניח זו הסדרה (z(n. אזי בהתאם לרציפות הפונקציה סינוס חייב להתקיים ש: ((sin(2PI*z(n שואף ל y. ולפי הגדרת (y(n סדרה זו היא תת סדרה שלה, וזה מש"ל. כעת אני סקרן לגבי הוכחת הטענה הכללית שהשתמשתי בה. טלמון, תוכל לספר לי איך מוכיחים אותה?

 

[טלמון סילבר]

הרעיון הוא,

שעבור e גדול מ-0 אפשר למצוא n ו-k שלמים, המקיימים:

n < ka < n+e​

כי אפשר למצוא מספר רציונלי קרוב "כמה שצריך" ל-a.