חידה מפורסמת

[Fingertip]

חידה מפורסמת

ששמעתי מד"ר גרינשטיין ביום שישי האחרון. יש לה שלושה פתרונות קלאסיים, בסיבוכיות יורדת ואלגנטיות עולה. נראה מי יעלה על האלגנטי ביותר (אני מרגיש צורך עז לבקש ממי שכבר מכיר את החידה לא לענות, וביחד נראה מי ימצא את הפתרון האלגנטי ביותר). ובכן, נזיר בודהיסטי קיבל משימה: ב-7:00 עליו לעזוב את המנזר ולטפס אל ראש ההר שלצידו בשביל מוגדר מראש ומסומן. הוא יכול ללכת בכל קצב שהוא, ובלבד שבשעה 19:00 הוא יגיע לראש ההר, שם הוא יתפלל כל הלילה עד ל-7:00. ב-7:00 עליו לעזוב את ההר ולרדת באותו השביל בדיוק בו הוא הגיע, כך שבשעה 19:00 הוא יגיע חזרה למנזר. האם ישנה נקודה על השביל שבה הנזיר היה בדיוק באותה השעה בשני הימים העוקבים? בהצלחה! אהד.

 

[Renatius Cartesius]

ברוך הבא! ../images/Emo24.gif

 

[Fingertip]

ברוך הבא?

אני פה כבר הרבה זמן. אולי לא פעיל כ"כ לאחרונה עקב עומס בלימודים, אבל לפני הצבא חרשתי כאן

. אהד.

 

[Renatius Cartesius]

סליחה. ../images/Emo13.gif

 

[pazro]

נראה לי פשוט למדי

כמובן שיש נקודה כזו, אני רואה שני דרכים להגיע לפתרון נניח כי שני אנשים יוצאים בכיוונים מנוגדים על אותו שביל באותה שעה וצריכים לסיים את המסלול בשעה יעודה, כמובן שתהיה שעה כזו שבה הם יפגשו. נצייר גרף, (זו במקרה גם הדרך שאני פתרתי את החידה הזו בפעם הראשונה שנתקלתי בה לפני איזה 20 שנה) זמן למרחק. כל יום נתחיל בצד אחר של ציר הזמן. חייבת להית נקודה כזו ששני הגרפים יפגשו.

 

[Fingertip]

../images/Emo127.gif

מצאת את הפתרון האלגנטי ביותר. והנה שלושת הפתרונות: המסובך ביותר: נגדיר שתי פונקציות: (f(t המרחק מהמנזר לאורך המסלול ביום הראשון בכל רגע נתון, (g(t אותו דבר רק ביום השני. נגדיר (h(t) = f(t) - g(t. שלוש הפונקציות הללו רציפות, כי הנזיר לא "דילג" במסלול שלו. בשעה 7:00, f מקבלת את הערך 0, כי הנזיר נמצא במנזר, ואילו g מקבלת את קצה המסלול, כי הנזיר נמצא בראש ההר, ולכן h מקבלת ערך שלילי. באופן דומה, בשעה 19:00, הרי ש-h מקבלת ערך חיובי, ולכן לפי משפט ערך הביניים נקבל ש-h מתאפסת מתישהו וגמרנו. אותו הרעיון, רק מסובך פחות: פשוט נצייר באופן איכותי את שני הגרפים. ברור שהם יחתכו זה את זה, ומכאן שיש נקודה משותפת כדרוש. לבסוף הרעיון הפשוט ביותר הוא אכן להמחיש זאת בעזרת נזיר נוסף שיורד מההר בזמן שהנזיר שלנו עולה, ומכאן שהם יפגשו היכנשהו בדרך. אהד.

 

[עריסטו]

לא הבאת בחשבון את

הצ'י של הנזיר...

 

[עריסטו]

האם אתה יכול לתת הוכחה מדוייקת לכך

שמזה שאין דילוג במסלול של הנזיר נובע שהמיקום שלו מהווה פונקציה רציפה? צריך להגדיר במדוייק מה הכוונה כשאומרים שאין דילוג במסלול, ולהראות שמזה נובע שהמסלול (המיקום כפונקציה של הזמן) הוא פונקציה רציפה.

 

[Fingertip]

',:-|

השאלה האם המרחב רציף או בדיד, וכן האם תנועה היא רציפה או בדידה היא שאלה פילוסופית עתיקת יומין, עוד מימי היוונים הקדמונים. ישנן שלל של תיאוריות לכאן ולכאן. ההנחה המובלעת ברוב המודלים הפיסיקליים הקלאסיים היא שהתנועה אכן רציפה, וזהו אכן המקרה כאן. אם לא מניחים אותה, אז בהחלט ייתכן והנזיר לא יהיה באותו המיקום באותה השעה בשני הימים לכל אורך המסלול. אהד.

 

[עריסטו]

לא זו היתה השאלה

השאלה היתה להראות שההבנה האינטואיטיבית שלנו של "תנועה רציפה" גוררת את ההגדרה המתמטית של רציפות.

 

[טלמון סילבר]

הזכרת לי סיפור ישן

בשביל צר בהרים נפגשות שתי עזים. אין לאן לסטות מהשביל, ורק עז אחת יכולה לעבור. אבל, למרבית הפליאה, העזים מסתדרות מצוין: אחת נעצרת, והשנייה עוברת אותה בקפיצה. אח"כ נפגשו באותו השביל, פנים אל פנים, שני אנגלים. כל אחד מציע לשני בשיא האדיבות והנימוס, שהוא (השני) יתחפף ברוורס, כדי שהוא (הראשון) יוכל לעבור. וכך שניהם עומדים במקומם, ללא תוצאה. לבסוף, אחד מהם שלף מתיקו את העיתון של שבת, עם כל המוספים העבים, והחל לקרוא בשקט, מהעמוד הראשון. כעבור כשעה, השני פונה אליו (בשיא הנימוס כמובן), ושואל אותו אם אפשר לקרוא את העיתון אחריו.

 

[souhami]

אז אתה אומר...

שאנגלים שמנים כמו עיזים?

 

[טלמון סילבר]

בלי הכללות! ../images/Emo13.gif

 

[טלמון סילבר]

בלי הכללות! ../images/Emo13.gif

 

[N o o b]

לפי הגדרת החידה שלך יש עוד דרכים...

היי,הגעתי לכאן מהעמוד הראשי,פורום נחמד,אולי אבלה כאן זמן מה... בכל אופן קראתי את החידה הזאת מספר פעמים ולא מצאתי תנאי שאומר שקצב ההליכה שלו חייב להיות קבוע,לכן בתחילת העליה שלו להר הוא יכול לרוץ ואילו לקראת סופה,הוא יכול ללכת בקצב איטי,כך שלראש ההר הוא יגיע ב19:00.אותו העיקרון בירידה. תאורטית קצב מתחלף שכזה,יכול ליצור אין ספור נקודות מפגש. אני מניח שרוח החידה אכן מתכוונת לקצב אחיד,יחד עם זאת מילותיה דוממות הן.

 

[Fingertip]

החידה כלל וכלל לא מתכוונת לקצב אחיד.

וכפי שצויין למעלה, ללא תלות בקצב, העובדה שהוא יעבור באותה הנקודה באותה השעה בשני הימים מובטחת. אהד.

 

[pazro]

לא נכון

לא משנה מה הקצב אם אחיד או שלא, תהיה נקודה מפגש אחת בלבד (כול עוד ההתקדמות היא בכיוון אחד בלבד)

 

[N o o b]

../images/Emo9.gif אתה צודק! אני חשבתי על מקרה שבו הוא יגיע

לנק' מסויימת ואז יחזור לנק' אחרת שכבר עבר. עשיתי טרנספרינג מהדימוי הזה לדימוי של הקצב המתחלף. אני כל כך נבוך.

 

[עריסטו]

עוד משהו

הכוונה היא ש-h רציפה כי היא הפרש שתי פונקציות רציפות, נכון?

 

[Fingertip]

יאפ

אהד.