חידה לא קלה!

[איגור קרסיק]

חידה לא קלה!

תהי Xn סדרה שמקיימת:

0 < X(n+m) <= Xn + Xm​

לכל n ו-m טבעיים. יש להוכיח שהסדרה:

X / n​

מתכנסת. אגב זו שאלה שנלקחה מהשאלות שהמנחה/מתרגל שלי בקורס אינפי 2 של האו"פ נתן...

 

[איייייל]

התחלה

לכל n

x <= x(n-1) + x(1) <= x(n-2) + 2x(1) <= ... <= x(n-[n-1]) + (n-1)x(1) = nx(1) ==> 0 < x/n <= x(1)​

כלומר, הוכחנו שהסדרה חסומה. כעת נותר להראות שהיא מתכנסת! כיוון ש x חסומה, יש לה תת סדרה מתכנסת:

x(n_k) --> L​

מכאן זה נראה כמו סתם אפסילונטיקה... (במילים אחרות, אין לי כוח להמשיך)

 

[איגור קרסיק]

אומנם זה נראה ככה אבל

הפתרון שיש בידי לא מסתמך על חסימות הסדרה באופן שבו אתה הסתמכת עליו...