חידה חביבה!

[yak141]

חידה חביבה!

מזמן כבר לא פרסמתי חידות בפורום... הפעם זו חידה די קלאסית וגם די פשוטה. כמו ביתר החידות שאני נוהג לפרסם, לא נדרש ידע מעבר לידע תיכוני, אך יש לצפות לשילוב בין תחומים. לפניכם מעגל (שחור) ובתוכו חסום מצולע משוכלל (ירוק), כאשר, בין רדיוס המעגל המגיע לקודקוד המצולע הראשון ש"מעל" לקוטר ולקוטר נוצרת זווית אלפא. נוריד (או נעלה) מכל אחד מקודקודי המצולע ניצב לקוטר המסומן. הוכיחו, כי לא משנה מהו גדול הזווית אלפא, סכום הניצבים יהייה זהה. הבהרה: אם נשנה את מספר צלעות המצולע מן הסתם סכום הניצבים ישתנה, אך יש להוכיח כי עבור מצולע בעל N צלעות, לא משנה מהי אלפא, סכום הניצבים ישמר. יש להראות דרך מפורטת! ב ה צ ל ח ה !

 

[yak141]

והנה השרטוט.... אופס....

 

[טלמון סילבר]

שאלה בנוגע לחידה:

האם אורך כל ניצב חיובי? או תלוי אם "הורדנו" או "העלינו" אותו?

 

[טלמון סילבר]

טוב, לא משנה. הגזמתי.

 

[טלמון סילבר]

אתה בטוח שזה נכון גם ל-N אי זוגי?

אני מתכוון לערכים המוחלטים של אורכי הניצבים. ניקח למשל משולש?

 

[yak141]

רגע... תן לי לחשוב... החל מ- N=4

זה החסם התחתון ולאחריו זה תקף עבור כל N כולל אי זוגיים... אם במקרה תגלה שאני טועה אז אשמח שתתקן אותי ובאמת תודה שהזכרת לי לציין את החסם התחתון.

 

[בגינס]

מותר לסובב את המצולע?

 

[vvizard]

הקפצה

אני עדיין חושב על זה.... אז חבריה לא לזנוח את זה, אני חייב לדעת את הפתרון.

 

[yak141]

תיקון קטן אך משמעותי

טלמון סילבר העיר לי על כך שהחידה אינה נכונה עבור מקרים פרטיים. בדקתי זאת וגיליתי שזה נכון. מכאן חשבתי שיש לי טעות בחידה אך לא הצלחתי למצוא אותה. פתאום, היום אחרי יום עבודה מתיש במיוחד נזכרתי איפה הטעות: במקור: הוכיחו כי סכום הניצבים לקוטר אינו תלוי באלפא. התיקון: הוכיחו כי סכום ריבועי הניצבים לקוטר אינו תלוי באלפא. מצטער מאוד על אי הנוחות והזמן המבוזבז (של חלק מכם).

מקווה שתקבלו את התנצלותי ותמשיכו להשקיע זמן בפתרון החידה וכן

מיוחדת לטלמון סילבר. ב ה צ ל ח ה !

 

[טלמון סילבר]

עצלנים ../images/Emo70.gif מדוע אף אחד\ת לא

פותר\ת את התרגיל הנחמד

 

[Belgarath]

תשובה

עבור מצולע משוכלל בעל N קודקודים: זוית מרכזית - נסמנה ב- x = 2π/N. אם נמתח מהמרכז רדיוסים R לכל קודקודי המצולע יווצרו משולשים שצלעותיהם הן הרדיוס, הניצב לקוטר, וחלק מהקוטר. בכל משולש כזה ניתן לראות שאורך הניצב לקוטר הוא:

Rsin(b)​

כאשר b הזוית בין הקוטר ליתר במשולש. זוית זו היא תמיד α+xi (או 180 פחות או 360 פחות או מינוס הזוית - מה שלא משנה עבור סינוס בריבוע), i בין 0 ל- N-1. כלומר סכום ריבועי הניצבים הוא:

R^2*sum(i=0..N-1){sin^2(α+xi)} = 0.5R^2*sum(i=0..N-1){1-cos(2α+2xi)} = 0.5*N*R^2 - 0.25R^2sum(i=0..N-1){exp(j2α)*(exp(j2x))^i + exp(-j2α)*(exp(-j2x))^i}​

(j הוא שורש של מינוס 1). צד ימין הוא סכום של שתי סדרות הנדסיות ולכן:

= 0.5*N*R^2 - 0.25R^2*(exp(j2α)*[(exp(j4π)-1)/(exp(j2x)-1)] + exp(-j2α)*[(exp(-j4π)-1)/(exp(-j2x)-1)]) = 0.5*N*R^2​

וזהו, הגענו לביטוי שלא תלוי ב-α. זה נכון לדעתי גם למשולש. הבעיה היחידה היא החלק של ההוכחה שהסכום הוא אפס, אני לא למדתי בתיכון את הנוסחה עבור קוסינוס בעזרת אקפוננט מרוכב, לכן בטח יש דרך אחרת להוכיח שזה אפס.

 

[yak141]

../images/Emo127.gif../images/Emo127.gif../images/Emo127.gif פתרון יפה מאוד!../images/Emo9.gif

כל הכבוד על הפתרון

, אם כי כפי שאמרת יש פתרון שאינו משתמש באקספוננט מרוכב. אגב, נכון, זה מתקיים גם במשולש. פשוט כשנסחתי את החידה כסכום ניצבים ולא כסכום ניצבים בריבוע הודיעו לי כי זה לא מתקיים עבור משולש ולאחר בדיקה ראיתי שזה אכן כך (גם עבור רבוע זה לא מתקיים וגם עבור יתר המצולעים). לאחר שהחידה תוקנה בפירוש הפתרון תקף גם למשולש.

 

[vvizard]

יש לי בעיה...

הסדרות ההנדסיות הן לא סדרות יורדות, אז איך השתמשת בנוסחא לסכום של סדרה יורדת (כפי שאני רואה שעשית עם מחליפים סדר בכול ההפרשים שם, כנראה בגלל בעיות הצגה), או שאני שכחתי משהו לגבי הרחבה של הנוסחא לגבי מרוכבים? ואיך, באמת מראים שהסכום מתאפס? זב חלק חשוב מהוכחה!

 

[Belgarath]

סדרה הנדסית

השתמשתי בנוסחה לסכום סופי של סדרה הנדסית:

S(N) = a1*(q^N-1)/(q-1) = a1*(1-q^N)/(1-q)​

כאשר N - מס' האיברים בסכום, q - מנת הסדרה, a1 האיבר הראשון. הנוסחא נכונה לכל סדרה הנדסית (עולה או יורדת, מרוכבת או ממשית). בחישוב שלי:

q1 = exp(j2x), a1 = exp(j2α) q2 = exp(-j2x), a1 = exp(-j2α)​

כל סכום יוצא 0 כי:

exp(j4π) = exp(-j4π) = 1 => exp(j4π) - 1 = exp(-j4π) - 1 = 0​

 

[vvizard]

OK

צודק... הייתי צריך להסתכל על זה קצת יותר... תודה.

 

[yak141]

נסה למצוא פתרון פשוט יותר

שמשתמש בידע תיכוני בלבד. גם שם תזדקק לחלק מהאלמנטים שמופיעים בהוכחה שנכתבה. ההוכחה עם הידע התיכוני לדעתי יפה קצת יותר (עקב הפשטות) אם כי גם זאת די יפה. ב ה צ ל ח ה !

 

[BanjoKazooie]

לא כל כך הוגן

יש פה טונה של דברים שלא למדתי זה בכלל לא הוגן אולי פעם תביאו חידה שגם ילד שסיים כיתה י' יכול לפתור בלי טריגו דברים אקספונציאלים אינטגרלים עם מרוכבים ולוגריתמים ???

 

[yak141]

אתה צודק!

למען האמת הפתרון שצויין כאן לא היה הפתרון שאני קיוויתי לראות, כי בתנאי השאלה כתבתי להשתמש בידע תיכוני בלבד. כפי שאתה רואה הפתרון שהוצג לא בדיוק מקיים זאת. אך, גם אם היו משתמשים בידע תיכוני בלבד אני מעריך שעדיין לא היית מבין את הפתרון עקב כך שסיימת רק את כיתה י'. הפתרון דורש חומר של יא' או יב' בעיקר בכל הנוגע למספרים מרוכבים. אני מבטיח שהחידה הבאה שאני אפרסם לא תדרוש שום ידע ברמה גבוהה. למעשה, אני מבטיח שהיא לא תדרוש יותר מתחושת מספרים מצוינת (במיוחד) וידע חטיבתי. להודעה זו אני מצרף את הפתרון שאני חשבתי עליו כשקיבלתי את השאלה (הייתי אז בי' והמורה ניסה למצוא מה לעשות איתי בשיעורים) ואני מוכרח לציין שכשאני קיבלתי אותה בזבזתי לא מעט זמן עליה (המורה קצת נרגע). הפתרון שאני מציע ארוך יותר אך לדעתי הפשטות שלו עושה אותו ליפה. ניתן לומר כי שני הפתרונות באים מאותו רקע כאשר השיטות המיושמות בפתרון שאני מציג הן הבסיס לשיטות שמיושמות בפתרון שהוצג כאן. לסיכום, הפתרון שהוצג יפה וכל הכבוד! לכל מי שהצליח לפתור!

 

[טלמון סילבר]

הערה טכנית קטנה.

הקוסינוס לא שווה ל-exp, אלא לחלק הממשי שלו, וכנ"ל הסכומים, ובסוף ממילא יוצא 0. אגב, החידה נכונה גם לגבי סכום המרחקים עצמם, לא בריבוע, בתנאי שהמרחקים באים עם סימן פלוס או מינוס בהתאם למיקום של הנקודה "מעל" הקוטר או "מתחת" לו. במקרה זה, כל סינוס שווה לחלק המדומה של ה-exp, כנ"ל לוקחים בזהירות את הסכומים, ושוב מתקבל 0.

 

[Belgarath]

לא אמרתי ששווה לאקספוננט

נכון - הקוסינוס שווה לחלק הממשי של האקספוננט:

Re{z} = 0.5(z + z') cos(a) = Re{exp(ia)} = 0.5(exp(ia)+exp(-ia))​

(ה"תג" מעל ה- z מסמן צמוד).