חידה\בעיה

[The Transposer]

כנראה שלזה התכוון המשורר

הסדרה הזו מתכנסת עבור x = √2 ל-2, והשנייה מתבדרת כש x = √2, וגם לפי הקישור ל tetration בויקיפדיה זו ההגדרה.

 

[avinamal]

הנושא נדון בהרחבה בעבר.

האיטרציה a[n+1] = x^an מתכנסת רק כאשר x קטן או שווה ל-e. ולכן למשוואה x^^inf = 2 יש פתרון, אבל למשוואה x^^inf = 3 דווקא אין. התודות לטלמון שהביא את השאלה הנחמדה הזו לפורום בעבר.

 

[אמיר96]

אבל

הסדרה לא מתכנסת ל X =2:

2^2^2....​

אבל למשוואה x^^inf = 3 יש פתרון 1/3^3

 

[avinamal]

תיקונים להודעה הקודמת

הסיפור מתכנס רק עבור

x <= e^(1/e)​

והתוצאה היא לנצח קטנה או שווה ל-e. מה שהבאת בתור פיתרון ל x^^inf = 3 מתכנס, אבל לא ל-3.

 

[avinamal]

אגב אם רוצים לדעת לאן זה יתכנס

צריך להתבונן בפונקציה ln(x)/x ששולטת כאן בעניינים.

 

[אמיר96]

אבל

אם הוא מתכנס ל a אז:

(3^1/3)^a = a​

ו a = 3

 

[avinamal]

אני רק מביא את דעתה של MATLAB

אין לי דיעה משל עצמי בעניין.

bla(3^(1/3) , 100) ans = 1.4422 1.6958 1.8608 1.9767 2.0624 2.1282 2.1801 2.2219 2.2561 2.2846 2.3086 2.3290 2.3464 2.3614 2.3744 2.3858 2.3957 2.4044 2.4121 2.4190 2.4250 2.4304 2.4352 2.4394 2.4433 2.4467 2.4497 2.4525 2.4550 2.4572 2.4592 2.4610 2.4626 2.4641 2.4654 2.4666 2.4677 2.4687 2.4696 2.4703 2.4711 2.4717 2.4723 2.4729 2.4733 2.4738 2.4742 2.4745 2.4749 2.4752 2.4754 2.4757 2.4759 2.4761 2.4763 2.4764 2.4766 2.4767 2.4769 2.4770 2.4771 2.4772 2.4772 2.4773 2.4774 2.4774 2.4775 2.4776 2.4776 2.4776 2.4777 2.4777 2.4777 2.4778 2.4778 2.4778 2.4778 2.4779 2.4779 2.4779 2.4779 2.4779 2.4779 2.4779 2.4780 2.4780 2.4780 2.4780 2.4780 2.4780 2.4780 2.4780 2.4780 2.4780 2.4780 2.4780 2.4780 2.4780 2.4780 2.4780 and note that: >> log(3)/3 ans = 0.3662 >> log(2.4780)/2.4780 ans = 0.3662​

 

[אמיר96]

הבנתי

 

[john stockton]

נראה לי שלזה הוא התכוון

הבחור התכוון למשהו מהסגנון של X^(X^(X^(X... וכולי קשה לי לראות איך מגדירים את זה אחרת ממה שולאד הגדיר את זה

 

[The Transposer]

2 דברים

1. אני לא מכיר הגדרה של הרכבת חזקות אינסוף פעמים. לדעתי זה פשוט לא מוגדר, כמו שחילוק ב0 לא מוגדר ובעזרתו אפשר "להוכיח" זהויות מעניינות כמו 0=1 2. אתה מניח שקיים פתרון וזה אסור - מה שיכולת להגיד הוא שאם קיים פתרון אז הוא שורש 2, אבל מה אם לא קיים פתרון ?

 

[עריסטו]

../images/Emo127.gif סעיף 2 הוא התשובה

 

[ogispan]

אבל אם מדובר בגבול

אז יש תשובה והיא שאיקס שווה שורש שתיים

 

[DarkCrystal]

גם למשוואה השנייה אין פתרון

 

[urib]

תראו, אולי זה לא מוגדר

אבל כשמחקים במחשבון מדעי (כזה מאפשר סוגריים בשורת הפקודה) ומשחקים הרבה רואים שהתשובה אכן מתקרבת לאטלאט ל-2 אפשר להניח שב N שווה אינסוף היא שוה לשתיים או ש....

 

[ao007]

ניסית בכלל לשים X=שורש שלוש?

f=x^x^x^x^x^x..... x^f=f x=f^(1/f ) zzz לכן הפונקציה היא הפונקציה ההפוכה ל- x^(1/x) zzz אלא שהפנקציה ההפוכה בדרך הזאת מוגדרת רק ל- e^(1/e)>x>0 בגלל שלפונקציה x^(1/x) יש נקודת קיצון ב- x=e לכן אם תציב שורש 2 אכן תקבל 2, אבל אם תציב שורש שלוש לא תקבל 3, וכך אם תציב כל מספר שגדול ממה שכתבתי בתחום של X. דרך אגב מה שתכתבי לא מספיק כדי להראות שהתחום הוא אכן התחום, אבל זו הוכחה קלה, אז אני משאיר למי שמתענין לנסות בכוחות עצמו.

 

[ao007]

תיקון טעות-

התחום זה לא מ-0 אלא מ- zzz 1/e^e

 

[גוזליקו]

לא שורש שלוש - אלא שורש שלישי של 3

ועכשיו תבדוק.

 

[ao007]

חח לא היה לי מקום בכותרת לזה ו-

בהודעה באמת כתבתי קצת מהר ולא כתבתי שורש שלישי, אבל העיסוק הוא בפונקציה x^(1/x )zzz חוץ מזה, מה לבדוק?

 

[gil levi]

לכל מי שטוען שזה לא מוגדר

אפשר להגדיר את זה כגבול של סדרת ה"הרכבות החלקיות", בדומה להגדרת טור. כתוב על זה קצת בויקיפדיה, בערך tetration (תחת Infinitely high power towers). ואם כבר בנושא, מישהו יכול להוכיח שה"מגדל" שיוצרות החזקות של שורש 2 מתכנס ל2 (זה גם מופיע בלינק שננתי תחת Infinitely high power towers)? תודה מראש.

 

[gil levi]

לא חשוב. שכחו מהתרגיל הקטן שננתי...