חידה בנושא משולשים

[טלמון סילבר]

חידה בנושא משולשים

במשולש חד-זווית ABC הגבהים הם:

AA´, BB´, CC´.​

צריך להוכיח שהגבהים של משולש ABC מהווים חוצי-זוויות של משולש

A´B´C´​

 

[איגור קרסיק]

הוכחה

אני אוכיח רק ש-B´B הוא חוצה זווית ההוכחה לשאר דומה. ראשית נסמן את נקודת מפגש הגבהים ב-Q. המרובע B´QC´A ניתן לחסימה במעגל [שכן סכום זוויות נגדיות שווה ל-180], על כן משום ש-C´B´Q ו-C´AQ נשענות על אותה קשת, הן שוות. כמו כן, AB´A´B ניתן לחסימה במעגל [שכן AB´B שווה ל-C´A´A] ולכן A´B´B שווה ל-A´AB. אם כן, B´B חוצה זווית. אגב, למשולש

A´B´C´​

קוראים משולש העקבות של ABC [או הפוך, אני לא זוכר למדתי את זה בכתה ט...]. אם כבר בגבהים עסקינן, אז נסה להוכיח שאמצעי הצלעות של משולש ABC, וכן

A´,B´,C´​

וכן אמצעי AQ , BQ , CQ נמצאות על מעגל אחד.

 

[טלמון סילבר]

...

1. ברור שבשבילך זה לא תרגיל רציני, רק תבדוק אם לא התבלבלת באותיות. 2. הבעייה שלך כמובן יותר רצינית. בינתיים הוכחתי רק שלמעגלים העוברים דרך 3 הנקודות: A) אמצע BC, נקודה ´A, אמצע AQ. B) אמצע AC, נקודה ´B, אמצע BQ. C) אמצע AB, נקודה ´C, אמצע CQ. יש מרכז משותף, שהוא אמצע הקטע בין נקודת מפגש הגבהים Q, ובין נקודת מפגש האנכים המרכזיים של ABC. כשיהיה לי זמן אחשוב הלאה. 3. איגור, לא בא לך להציץ בהוכחת האינטגרביליות של אותה פונקציה (שקודם דחיתי אותה בטעות)? האם באמת כתבתי בצורה לא מובנת או לא נכונה?