חוב מהעבר

[Halfbaked]

חוב מהעבר

פעם פרסמתי כאן בקשה מעניינת: הראו שפונקצית הזהות על הממשיים היא סכום של שתי פונקציות מחזוריות. בעקבות הודעתי התפתח דיון מעניין, ובו כמה הצעות טובות לפתרון (טלמון, זוכר?). מסיבות אישיות נעלמתי מהפורום לפני שסיפקתי את הפתרון המוכר לי. הנה הוא מצ"ב.

 

[טלמון סילבר]

אני זוכר כמובן.

בתחילה הבאתי "פתרון" שגוי (למרות שהכיוון היה נכון), אח"כ ידיד שלי הראה לי פתרון נכון - כנראה זהה לפתרון שהיצגתָ עכשיו (אני קורא לאט "דברים כאלה"), היצגתי אותו, אבל אז נעלמתָ. ובמקביל העליתָ חידה נוספת: הוכח שאת הפונקציה x בריבוע אי אפשר להציג כסכום של שתי פונקציות מחזוריות, אבל אפשר להציג כסכום של 3 פונקציות מחזוריות. אז הבאתי הוכחה פשוטה מאוד של החלק הראשון - אי האפשרות להציג כסכום של שתי פונקציות מחזוריות. את החלק השני, עד כמה שאני נזכר, אני לא מצאתי וגם אחרים לא פרסמו, וההודעה גלשה לנבכי הארכיון. צריך להיזכר ולחשוב על הכל מחדש.

 

[Halfbaked]

אז הנה הבעיה בצורתה הכללית

א. יהי P פולינום ממשי ממעלה n (במשתנה x). הוכיחו כי P הוא סכום של n+1 פונקציות ממשיות מחזוריות, אך אינו סכום של n פונקציות כאלה. ובתור חידת בונוס: ב. הוכיחו כי הפונקציה הממשית e^x אינה סכום של מספר (סופי) כלשהו של פונקציות ממשיות מחזוריות.

 

[Aegon]

נסיון

אנא התעלמו מהאותיות שנראות לא קשורות, הן כנראה שם בשביל לסדר את הסוגרים. נניח בשלילה כי ניתן להציג את e^x כסכום סופי של פונקציות מחזוריות ונרשום e^x = g_1(x) + ... + g_k(x) a כאשר k מינימלי. יהי p המחזור של g_k. נעזר בזהות e^x = (e^(x+p) - e^x)/(e^p - 1) a בשביל לרשום e^x = f_1(x) + ... + f_(k-1)(x) a כאשר f_i(x) = (g_i(x + p) - g_i(x))/(e^p - 1) a אבל גם f_i מחזוריות, וקיבלנו סתירה למינימליות.

 

[Halfbaked]

כל הכבוד ../images/Emo45.gif

עכשיו פתור את החלק השני (הראשון).

 

[Aegon]

לצערי

כבר נתקלתי בבעיה הראשונה כשלמדתי תורת הקבוצות ואני זוכר )פחות או יותר( את הפתרון, אז אני מעדיף להשאיר את זה לאחרים

 

[אוילר]

טוב...

אז בינתיים פתרתי רק את למה אפשר להציג כסכום של n+1 מחזוריות... כמו בהוכחה למקרה של p(x)=x שהלף-בייקד הראה קודם נסתכל על R כמ"ו מעל Q. כידוע, המספרים האלגברים הם בני מניה (כאיחוד בן מניה על n של השורשים של כל הפולינומים ממעלה n שמספר הפולינומים הוא בן מניה (כמו Q^n+1) ולכל פולינום כזה לכל היותר n שורשים) . לכן בפרט קיים ב R מספר e שהוא טרנסנדנטי . בפרט, הקבוצה ....e,e^2,e^3 אינה תלויה ליניארית כי אם יש תלות אם מחליפים את ה eים בכתיבת התלות ל x אז e שורש של הפולינום שמתקבל. לכן ניתן להרחיב את ...e,e^2,e^3 לבסיס H של R מעל Q...כעת יהי p פולינום ממעלה n, אזי נכתוב באופן יחיד (כמו בהוכחה עבור x): (p(x)=f1(x)e+....+fn(x)e^n+g(x כאשר (g(x צירוף לינארי של איברי הבסיס השונים מ e....e^n. כעת קל להווכח ש g מחזורית עם מחזור e (לכל היותר) וש (f1(x).....fn(x מחזוריות עם מחזור e^n+1 (לכל היותר) מכיוון ש e^n+1 בבסיס...

 

[אוילר]

הערה...

זה לא יצא טוב בהודעה אבל הכוונה היא שמרחיבים את .....e,e^2,e^3........e^n לבסיס

 

[אוילר]

ועוד הבהרונת

המחזור הוא (e^(n+1 ולא e^n+1

 

[אוילר]

אופס...

טעות בהוכחה אני מניח...