חדווא 2- זקוק לעזרה

[MrSonicBar]

חדווא 2- זקוק לעזרה

שלום רב,
אשמח מאוד לעזרה בפיתרון השאלה הבאה:

תהי f:R to R (ממשים לממשים) פונקציה גזירה כך שנגזרתה ' f רציפה במידה שווה בR.

צריך להוכיח: סדרת הפונקציות n(f(x+1/n)-f(x)) מתכנסת במידה שווה ל ' f.

ההתכנסות הנקודתית ברורה מהגדרה של נגזרת.

תודה רבה!!

 

[1ca1]

פתרון

נקבע n, נשים לב שלכל x יש מספר c (התלוי ב-x) כך ש- x<=c<=x+1/n וכן n[f(x+1/n)-f(x)]=f'(c), ממשפט לגרנז.
בשביל להוכיח התכנסות במ"ש צריך
zz limsup |n[f(x+1/n)-f(x)] - f'(x)| =0 zz
אז אפשר לכתוב
zz limsup |f'(c(x))-f'(x)| zz
וצריך לזכור שלכאורה c תלוי גם ב-n (שים לב, שקבענו ראשית n, קיבלנו קטע בגודל 1 חלקי n וכך הלאה).
כעת, f' רציפה במ"ש.
יש N0 כך שלכל n>N0, אם zz |x-y|<1/N0 zz אז zz |f'(x)-f'|<epsilon zz
ולכן החל מ-N0, אני יכול להחליף את c(x) ב-x וזה יעלה לי באפסילון בחישוב.
בצורה יותר מפורשת.
לכל n>N0 מתקיים
zz f'(c)-f'(x)<e zz
זה מהגדרת הרציפות במ"ש של f' והעובדה שמשפט לגרנז מופעל שם על כל קטע באורך קטן מ-1/N0.
ועכשיו אני טוען שסיימנו.
לכל n>N0 מתקיים
zz |n[f(x+1/n)-f(x)]-f'(x)|<e zz
ולכן הלימסופ של צד שמאל קטן מאפסילון.
לימסופ הוא מספר שקטן מכל אפסילון, ולכן שווה לאפס.

 

[MrSonicBar]

תודה רבה!