והנה בעיה נחמדה

[Halfbaked]

והנה בעיה נחמדה

הוכיחו כי פונקצית הזהות על המספרים הממשיים, דהיינו f(x)=x, היא סכום של שתי פונקציות מחזוריות. לא, אין כאן טעות, ולא, אתם לא צריכים משקפיים.

 

[טלמון סילבר]

בינתיים המשקפיים לא כל כך עוזרים.

מצאתי משהו רק לקבוצה בת-מנייה.

 

[Halfbaked]

מה מצאת?

רמז דקיק - נסו להעזר באקסיומת הבחירה.

 

[dubby250]

מהי אקסיומת הבחירה?

 

[טלמון סילבר]

מצאתי רק

שתי פונקציות מוגדרות על קבוצה בת מנייה ו"צפופה" של מספרים ממשיים, ששתיהן מחזוריות, וסכומן שווה x. עדיין לא הצלחתי להרחיב את תחום ההגדרה לכל המספרים הממשיים. אני מצטרף לשאלה: מה זה אקסיומת הבחירה?

 

[yatir]

http://mathworld.wolfram.com/Axiomo

 

[yatir]

...

http://mathworld.wolfram.com/AxiomofChoice.html

 

[Aegon]

באמת חמוד

(רמז: R מרחב ווקטורי מעל Q)

 

[טלמון סילבר]

מה זה

"R מרחב וקטורי מעל Q"?

 

[1ca1]

Q-מספרים רציונאלים

R אתה בטח תבין לבד

 

[טלמון סילבר]

מה זה "מעל"?

 

[איגור קרסיק]

טלמון, אך אתה מגדיר

מרחב וקטורי...

 

[טלמון סילבר]

איגור, אני לא זוכר את ההגדרה

ואין לי סבלנות ל"פילוסופיות" האלה כאשר בסה"כ אנחנו מחפשים שתי פונקציות מחזוריות מוגדרות עבור כל המספרים הממשיים, שסכומן שווה x עבור כל x (למרות שהשאלה היתה רק להוכיח את קיומן). אתה יודע את הפתרון?

 

[איגור קרסיק]

בסדר

אומנם ככל הנראה לא הבנת לחלוטין את כוונתי... (אני לא יודע את הפתרון)

 

[טלמון סילבר]

ניסיון לפתרון ("פחות או יותר").

את קבוצת כל המספרים הממשיים האי רציונליים אפשר לחלק לתת-קבוצות זרות באופן הבא: אם מספר אי רציונלי a שייך לתת קבוצה A, אז לאותה תת קבוצה שייכים גם כל המספרים האי רציונליים r+sa, כאשר r ו-s מספרים רציונליים כלשהם ו-s שונה מ-0, ורק מספרים אלה שייכים לתת הקבוצה A. נדלג על ההוכחה שבאופן זה אכן קבוצת כל המספרים האי-רציונליים התחלקה לתת קבוצות זרות (ושקיים אופן אחד בלבד של חלוקה זו). מכל תת קבוצה כזו A נבחר נציג אחד a. לכל מספר אי רציונלי יש "נציג" כלשהו a. נגדיר את שתי הפונקציות (f(x ו-(g(x. עבור כל מספר רציונלי r:

f(r) = 0 g(r) = r​

ועבור כל מספר אי רציונלי r+sa (כאשר r רציונלי, s רציונלי שונה מ-0, ו-a "הנציג" האי רציונלי):

f(r+sa) = sa g(r+sa) = r​

אז אם לא טעיתי, עבור כל x ממשי: f(x)+g(x)=x, ובנוסף כל מספר רציונלי r מהווה מחזור של (f(x, וכל מספר sa, כאשר s רציונלי שונה מ-0 ו-a נציג, מהווה מחזור של (g(x.

 

[טלמון סילבר]

אציין שעבור כל מספר אי רציונלי

המספרים r, s, a מוגדרים חד משמעית.

 

[Halfbaked]

כל הכבוד!

פתרון יפה!! דרך אגב, שים לב שהשתמשת באקסיומת הבחירה כאשר הנחת שניתן לבחור נציג מכל קבוצה זרה של אי-רציונלים, שהרי יש אינסוף קבוצות כאלה. אקסיומת הבחירה היא הטענה שלכל קבוצה X של קבוצות לא ריקות A_i קיימת פונקציה C שתחומה X, כך ש-(C(A_i שייך ל-A_i לכל i. הפונקציה C נקראת "פונקצית בחירה על X", ובעצם השתמשת בפונקצית בחירה כזו כדי להגדיר את הפונקציות f ו-g. שימו לב שעבור X סופית אקסיומת הבחירה אינה נחוצה להוכחת קיום פונקצית בחירה על X, אך עבור X אינסופית כלשהי לא ניתן להוכיח זאת ללא שימוש באקסיומת הבחירה. ועכשיו לשלב הבא: הראו שהפונקציה הממשית f(x)=x^2 היא סכום של שלוש פונקציות מחזוריות, אך אינה סכום של שתיים כאלה. בהצלחה!

 

[טלמון סילבר]

להתמודד עם החידה הבאה מוזמנים

הצעירים יותר, אני זקוק לפסק כדי זמן להתאושש מהחידה הזאת.

 

[טלמון סילבר]

החלק השני של החידה החדשה

נראה לי קל מאוד, אבל אני רואה שהאחרים מתעצלים. דרך השלילה. נניח שקיימות שתי פונקציות (f(x ו-(g(x עבור כל x ממשי, וכן שני מספרים ממשיים t ו-u שונים מ-0, ועבור כל x ממשי וכל m ו-n שלמים מתקיים:

f(x + mt) = f(x) g(x + nu) = g(x) f(x) + g(x) = x^2​

אזי:

f(t + u) + g(t + u) = f(u) + g(t) = (t + u)^2 f(-t - u) + g(-t - u) = f(-u) + g(-t) = (-t - u)^2 f(u) + f(-u) + g(t) + g(-t) = 2(t + u)^2 f(-t + u) + g(-t + u) = f(u) + g(-t) = (-t + u)^2 f(t - u) + g(t - u) = f(-u) + g(t) = (t - u)^2 f(u) + f(-u) + g(t) + g(-t) = 2(t - u)^2 (t + u)^2 = (t - u)^2 tu = 0​

כאשר t ו-u שונים מ-0.

 

[טלמון סילבר]

בצער רב וביגון אני נאלץ לציין

ש"הפתרון" שהיצעתי לחידה הראשונה שגוי לחלוטין... הפונקציה הראשונה (f(x היא אכן מחזורית, ולכל מספר ממשי x ומספר רציונלי r מתקיים:

f(x + r) = f(x)​

אבל הפונקציה השנייה (g(x בכלל לא נראית לי מחזורית. נכון שאם המספר האי רציונלי a הוא "נציג", והמספרים r,s,t רציונלים, אז מתקיים:

g(r + sa + ta) = r = g(r + sa)​

אבל אם b הוא נציג אי רציונלי אחר, אז מה פתאום מתקיים:

g(r + sb + ta) = g(r + sb) ?​

כלומר מה פתאום ta מהווה מחזור של (g(x ?