התמרת לפלס ופוריה

[Yamyam99]

התמרת לפלס ופוריה

מה ההבדל בין התמרת לפלס להתמרת פוריה ובאיזה מקרים משתמשים בכל אחת מהן?

 

[RichardSmith]

היתה שאלה על זה לפני כמה ימים.

תנסה לעשות חיפוש.

 

[Yamyam99]

התשובה שם לא ממש ברורה

עדיין לא הבנתי מה ההבדל הפרקטי בינהם ומתי משתמשים בכל אחת מהן..

 

[khaydarin]

אני אנסה להסביר

אתחיל מזה ששתיהן התמרות אינטגרליות וככאלה, הן כלי אפקטיבי לטיפול במד"ר, עדיף לינאריות עם מקדמים קבועים. במקרה הזה של מד"ר עדיף להשתמש בהתמרת לפלס משתי סיבות: 1. הרעיון בהתמרה הוא להפוך משוואה דיפרנציאלית למשוואה אלגברית, התמרת פוריה של פונקציות מדרגה ודומותיה כוללת בתוכה פונקציית דלתא של דיראק, מה שהופך את הפתרון למסובך. בהתמרת לפלס אין את הבעיות האלה. 2. התמרת לפלס חד-צדדית לוקחת בחשבון תנאי התחלה ואילו התמרת פוריה לא. בתחום תורת המערכות (אני מכיר אותו מהצד של חשמל), מתשתמשים בהתמרות כדי להבין את ההתנהגות של המערכת. יש סוג מסוים של מערכות שנקרא Linear Time-Invariant (או בקיצור LTI ובעברית, לינאריות קבועות בזמן). את המערכות האלה אפשר לתאר בעזרת מד"ר לינאריות עם מקדמים קבועים או בעזרת תגובה להלם. כשמפעילים התמרת לפלס דו-צדדית על מערכת כזו מקבלים "מפה" של הקטבים והאפסים שלה. זה, בצירוף עם המידע על תחום ההתכנסות של ההתמרה יכול לומר לנו אם המערכת יציבה (סוג של יציבות שנקרא BIBO), סיבתית והאם התגובה להלם סופית, חצי אינסופית או אינסופית בזמן. אוסיף גם שבעזרת התמרה והתמרה הפוכה אפשר לעבור בין המד"ר שמתארת את המשוואה לתגובה להלם שלה וההפך. התמרת פוריה, כמקרה פרטי של התמרת לפלס, מתאימה יותר לתיאור התנהגות המערכת עבור כניסות הרמונית, במצב מתמיד. מתוך התבוננות בגרף של ההתמרה של התגובה להלם ניתן לראות עבור אילו תדרים המערכת מגבירה או מנחיתה את אות הכניסה, טכניקה שימושית מאוד בתכנון מסננים ומגברים וגם כאשר בודקים אפשרות של ייצוב מערכת ע"י משוב. זהו, על רגל אחת, מקווה שההסבר טרם משהו. בכל זאת, סיכמתי כאן כמה קורסים לתוך כמה פסקאות

 

[Yamyam99]

תודה..אז

אז אתה אומר שהתמרת פוריה היא מקרה פרטי של התמרת לפלס?

 

[1ca1]

לא, הם דברים שונים לחלוטין

פרט לכך שלשניהם יש את המילה התמרה בשם...

 

[khaydarin]

אפשר לעבור מלפלס לפוריה

ע"י הצבת s = ix, רק צריך לעשות את זה בזהירות כי זה לא תמיד נכון (למשל חישוב התמרת פוריה של מדרגה מתוך התמרת לפלס).

 

[khaydarin]

תיקון קל

ע"י הצבת s=iω

 

[Belgarath1]

מתי זה נכון

זה יהיה נכון כאשר המערכת יציבה. כלומר כאשר תחום ההתכנסות של התמרת לפלס (דו-צדדית) כולל את הציר המדומה: s=iw. ואכן מדרגה אינה מערכת יציבה BIBO. במקרה זה התמרת פוריה היא אכן בדיוק מקרה פרטי של התמרת לפלס.