התכנסות טורים

[LironBar247]

התכנסות טורים

האם הטורים הבאים מתכנסים בהחלט\בתנאי? או האם מתבדרים?

 

[טלמון סילבר]

בנוגע לראשון,

מה אפשר לומר על האברים הזוגיים?
איך אפשר לבטא את האברים האי-זוגיים בלי סינוס?

 

[LironBar247]

לגבי

הטור הראשון - הסינוס בזוגיים הוא 0 ובאי-זוגיים הוא 1- בחזקת n - אבל אני לא בטוחה איך להמשיך מכאן. לגבי האיברים הא"ז, אני יכולה לומר שהטור מתכנס לפי לייבניץ. האם מכאן אני יכולה להסיק על כל הטור (כי השאר אפסים)?

לגבי התכנסות בהחלט של אותו טור, אז טור הערכים המוחלטים הינו:
0 במקומות הזוגיים ו-n-1/n^2+1 במקומות הא"ז, ומפה אני לא כ"כ יודעת איך להמשיך, כי הטור מתנהג אחרת עבור איברים זוגיים וא"ז...

בנוסף אני לא מצליחה לאפיין את הטור השני... אפשר עזרה גם שם?

 

[טלמון סילבר]

בנוגע לראשון

פשוט התעלמי מהזוגיים השווים 0. חיקרי טור "חדש", המכיל את האי-זוגיים בלבד.

 

[LironBar247]

אז

אני צודקת שהוא מתכנס לפי לייבניץ?
לגבי בדיקת התכנסות מוחלטת - אם אני מתעלמת מהאפסים, אז אני יכולה להשתמש במבחן ההשוואה הגבולי עם הטור ההרמוני ולהסיק כי הטור מתכנס בתנאי. מה דעתך?

יש לך רעיונות לגבי הטור השני?

 

[טלמון סילבר]

בנוגע לראשון, הכל נכון.

 

[טלמון סילבר]

השני

התכנסות רגילה ("בתנאי"). נפריד את הסכום לשני סכומים: האחד מהם עם ה-"3", השני עם הסינוס וכל השאר.
הראשון כמובן מתכנס. השני, כפי שלמדנו מתרגילים קודמים, מתכנס לאור מבחן דיריכלה.
סכום שני טורים מתכנסים הוא טור מתכנס.

לבדיקת ההתכנסות המוחלטת נשתמש באי השוויון הבא:
|a + b| >= |a| - |b|

|3 + 2^n • sin| / [sqrt • (2^n)] >=
>= |sin| / sqrt - 3 / [sqrt • (2^n)]
אנו כבר יודעים מתרגילים קודמים, שאם נתעלם מהאבר השני נקבל טור מתבדר, דהיינו סדרת הסכומים החלקיים של האבר הראשון שואפת לאינסוף.
מכיוון שסדרת הסכומים החלקיים של האבר השני שואפת למספר סופי, אזי סדרת הסכומים החלקיים של שני האברים ביחד שואפת גם היא לאינסוף.
סופית: הטור הנ"ל אינו מתכנס באופן מוחלט, רק בתנאי.

 

[LironBar247]

אני

לא בטוחה במשהו בפתרון שלך:
כתבת שאחד האיברים שואף לאינסוף, אבל לפי איך שאני מבינה, שניהם שואפים לאפס (!), לא?

 

[טלמון סילבר]

לא כך.

מדובר בשני טורים. בשניהם האבר הכללי שואף ל-0, אחרת לא היה על מה לדבר.
דיברתי על סדרת הסכומים החלקיים של כל אחד משני הטורים.
עבור הטור החיובי המתבדר, סדרה זו שואפת לאינסוף.
עבור הטור המתכנס, סדרה זו שואפת למספר סופי כלשהו.
לפיכך, סדרת הסכומים החלקיים של ההפרשים שואפת גם היא לאינסוף.

בתרגיל זה ובמספר תרגילים נוספים אני מסתמך על פתרון התרגיל הראשון מההודעה שלך המכילה חמישה תרגילים: התכנסות, בגלל שסכום הסינוסים חסום (מבחן דיריכלה), והתבדרות טור הערכים המוחלטים - כי המשתנה השואף ל-0 "אינו שואף ל-0 מספיק חזק", והסינוס מחזורי.