בבקשה:
צריך להוכיח שמכפלת ההפרשים מתחלקת לפחות 5 פעמים ל-2, ולפחות פעמיים ל-3, כי:
288 = 2^5 * 3^2
נתחיל מה-2. אם יש לפחות 4 מספרים מתוך ה-5, בעלי אותה זוגיוּת (זוגיים, או אי-זוגיים), אז ישנם לפחות 6 הפרשים זוגיים (כמספר ההפרשים האפשריים בין 4 מספרים בעלי אותה זוגיוּת). נניח שאין. אז האפשרות היחידה היא, שישנם 3 מספרים בעלי זוגיוּת מסוימת, ושני מספרים בעלי הזוגיוּת האחרת. במקרה זה, יש לנו 3 הפרשים בין שלושת הראשונים, ועוד הפרש אחד בין השניים האחרונים. כלומר, יש לנו כבר 2 בחזקת 4, כלומר חסר עוד 2 אחד, אבל עכשיו נמצא אותו. בין מספרים בעלי אותה זוגיות יכולות להיות רק שתי אפשרויות במודולוס 4 (כלומר רק שתי אפשרויות של השארית שלהם מחילוק ב-4). לכן מתוך ה-3 הראשונים, ישנם לפחות שניים שיש להם אותה שארית מחילוק ל-4 (שווים במודולוס 4). ובכן, ההפרש ביניהם מתחלק לא רק ל-2, אלא גם ל-4. כלומר, מתוך ארבעת ההפרשים הזוגיים שמצאנו, לפחות אחד מתחלק ב-4, ויחד עם שלושת האחרים יש לנו לפחות 2 בחזקת 5. עוברים ל-3. אם מתוך חמשת המספרים הנתונים יש לפחות שלושה שווים במודולוס 3 (בעלי אותה שארית מחילוק ב-3), אז שלושת ההפרשים ביניהם ישר מספקים לנו 3 בחזקת שלוש. אם לא, אז קיימת אפשרות אחת בלבד: לשני מספרים יש שארית מסויימת מחילוק ל-3, לשניים אחרים שארית אחרת מחילוק ל-3, ולחמישי שארית שונה משתי הקודמות. ובמקרה זה ההפרש בין השניים הראשונים מתחלק ל-3, וגם ההפרש בין שני המספרים השניים. כך שבכל זאת יש לנו 3 בריבוע. לילה טוב.
