השערת הרצף

[pallidfool]

השערת הרצף

הבנתי שהוכיחו שנכונות השערת הרצף לא נובעת ולא נסתרת ע"י אקסיומות סטנדרטיות של תורת הקבוצות. השאלה שלי היא כזו: אם נניח שלא מתקיימת ההשערה, וקיימת עוצמה בין עוצמת הטבעיים לממשיים, אז איך ניתן לבנות קבוצה בעלת עוצמה זו? אני חושב שאני טיפה מבולבל. עדין לא למדתי את תורת הקבוצות לעומק. תודה.

 

[Halfbaked]

"לבנות קבוצה"

שאלתך אינה ברורה: 1. האם אתה מתכוון לכל קבוצה אפשרית, או לקבוצה בעלת תכונה מסוימת, למשל קבוצת מספרים ממשיים? 2. למה בדיוק אתה מתכוון במילה "לבנות"? בהנחת השערת הרצף, קל להצביע על קבוצה לא בת מניה שעוצמתה קטנה מעוצמת הממשיים: הסודר הראשון שאינו בן מניה (סימונו בתורת הקבוצות "אומגה-1") הוא קבוצה כזאת, וההוכחה פשוטה - עוצמת אומגה-1 היא העוצמה הקטנה ביותר מבין העוצמות שאינן בנות מניה, והרי השערת הרצף אומרת בדיוק שעוצמת הממשיים אינה הקטנה ביותר. האם תשובה זו עונה לשאלתך?

 

[pallidfool]

התכוונתי

לקבוצת מספרים ממשיים שעוצמתה קטנה מעוצמת הרצף אבל גדולה מ-א0.

 

[Halfbaked]

האם זאת תשובה מספקת?

נקרא לעוצמת הממשיים c. קח פונקציה f חד חד ערכית מהמונה שעוצמתו c לקבוצת הממשיים, וקח את התמונה של f מצומצמת למונה אומגה-1. זאת קבוצת ממשיים שעוצמתה אומגה-1, כלומר גדולה מעוצמת הטבעיים וקטנה מעוצמת הממשיים (בהנחת השערת הרצף).

 

[Halfbaked]

התכוונתי

בהנחה שהשערת הרצף אינה נכונה.

 

[טלמון סילבר]

baked½, לא שכחת את המחזוריוֹת?

המשך בשרשור יום ה'. ומה הפתרון המקורי? בינתיים רק ל-x.

 

[pallidfool]

לא ממש...

קיוויתי לתיאור אחר של קבוצה כזו, כמובן

 

[עמית103]

כמובן שאין תיאור כזה

אתה מתכוון לתיאור באמצעות בנייה, המסתמך על האקסיומות הרגילות של תורת הקבוצות (צרמלו-פרנקל, בד"כ). אבל כיוון שאקסיומת הרצף אינה תלוייה באקסיומות אלו, הרי שלא תיתכן בנייה כזו.