השערה.

[DarkCrystal]

השערה.

כל משולש שכל הזוויות (במעלות) שלו מהוות מספרים שלמים וגם כל אורכי הצלעות שלו מהווים מספרים שלמים הוא בהכרח משולש שווה צלעות. האם ניתן להוכיח/להפריך השערה זו?

 

[moti43]

ניתן להפריך בקלות

 

[1אברהם]

הוכחה

נתון משולש שכל צלעותיו הם מספרים שלמים, לפי משפט הקוסינוס כל זוית wשל המשולש מקימת

cos(w)=(a^2+b^2-c^2)/2ab​

כלומר cos(w הוא מספר רציונלי הזויות היחידות במעלות שלמות בתחום 0-180 שה cos שלה הוא מספר רציונלי הם 60 120 0 90 ( זו טענה שגם צריך להוכיח ). אם הזוית היא 0 אז זה משולש מנוון. ולכן כל זויות המשולש חיבות להיות כל אחת ל 60 או 90 או 120 וכמובן שרק 60 אפשרי מסקנה: משולש שכל צלעותיו מספרים רציונלים וכל זויותיו הם מספרים שלמים במעלות הוא או משולש שוה צלעות או משולש מנוון ( שכל צלעותיו על אותו ישר )

 

[DarkCrystal]

ואיך מוכיחים שאלה הזוויות השלמות

היחידות בתחום הזה שהקוסינוס שלהן רציונאלי?

 

[טלמון סילבר]

כיוון אפשרי להוכחה.

קוסינוס nα, כאשר n - מספר טבעי, אפשר לבטא כפולינום של קוסינוס α עם מקדמים שלמים (קל מאוד להוכיח זאת. לפולינומים האלה קוראים פולינומי צ'בישוב). לפיכך, אם קוסינוס α מספר רציונלי, אזי גם קוסינוס nα רציונלי. ולפיכך, מכיוון שידוע שקוסינוס 30° אי-רציונלי, לכן ברור שגם הקוסינוסים של מחלקי המספר 30 (במעלות) אי-רציונליים: הקוסינוסים של 1°, 2°, 3°, 5°, 6°, 10°, 15°, 30°. בהסתמך על כך שקוסינוס 45° אי-רציונלי, די ברור שקוסינוס כל מספר מעלות אי-זוגי הוא אי-רציונלי. קל להוכיח שקוסינוס 72° שווה

1 / (1 + sqrt(5))​

מה שמאפשר לסגור עניין עם זוויות רבות נוספות. כמו כן ברור, שאין צורך לחקור זוויות גדולות מ-90°.

 

[IsraeliSecretToilets]

גנב ../images/Emo46.gif

גנבת לי את הרעיון

ולא הייתי זוכר את פולינומי צ'בישב על כך טוב אם לא הייתי טועה בהוכחת משפט האופטימאליות שלהם בבחינה

 

[טלמון סילבר]

../images/Emo6.gif בדלי זכרונות רחוקים - כבשת הרש.

 

[DarkCrystal]

תודה.

 

[טלמון סילבר]

בבקשה.

להשלמת ההוכחה עדיין צריך לבצע את העבודה; אם כי זה אמוּר לרוץ מהר. למשל מזווית 30 מעלות עוברים ל-10 מעלות, וכבר "יש לנו" גם 150, 330, 390, 170, 350, 370 מעלות, שמה שמעניין אותנו זה המחלקים השלמים שלהם הזוגיים הקטנים מ-90.

 

[Palass]

אבל,

קחו משולש שווה צלעות (או, לא חשוב איזה משולש העיקר שהזויות בו שלומות) ואתה יכול להאריך את הצלעות איך שמתחשק לך..!

 

[טלמון סילבר]

תשובה

אם את מאריכה את הצלעות מבלי לשמור על היחס ביניהן, אזי גם הזוויות ישתנו. אם את מאריכה את הצלעות תוך שמירת היחס ביניהן, כלומר תוך שמירת הזוויות, אז זה... לא יעזור לך לתת לכל שלוש הצלעות אורכים שלמים! ניקח למשל את המשולש עם הזוויות 30°, 60°, 90°. לעולם לא תוכלי לתת לכל שלוש הצלעות אורכים שלמים, כי היחס בין הניצב הגדול לבין כל צלע אחרת הוא אי-רציונלי. כמה שלא תאריכי אותן.

 

[Palass]

אמרתי שווה צלעות.

נכון. אבל לא התכוונתי לתכונה זת של שווה צלעות (שויון הצלעות) התכוונתי לשוויון הזויות. (60,60,60) זה מה שהתכוונתי מהתחלה - שלא צריך להסתבך עם הוכחה. פשוט קח משולש שווה זויות (!) ובנה משולש שהצלעות שלו לא שלמות. והנה הופרך.

 

[IsraeliSecretToilets]

עדיין לא הבנתי..

איך בדיוק זה מפריך את הטענה כי כל משולש שהצלעות שלו הן באורך שלם וגם הזויות שלו (במעלות) הן שלמות אזי הוא משולש שווה צלעות. כלומר תן לי דוגמא למשולש שבו הזויות שלמות, הצלעות שלמות, אבל הוא לא שווה צלעות. יהיה לך קצת קשה

 

[Palass]

מצטערת.../images/Emo122.gif

לא קראתי נכון את מה שהיה צ"ל...