הרחבת שדות

[הרוצה להחכים]

הרחבת שדות

את סעיף א הצלחתי, אשמח לעזרה בסעיף ב.

 

[1ca1]

יש כמה דרכים

הנה דרך אחת סטנדרטית.
נסתכל על מרחב המנה K/F. ראשית יש בו חיבור מוגדר היטב ע"י חיבור של נציגים (ואוטומורפיזם פרובניוס או משהו).
בנוסף, מדובר כאן על Z/pZ מודול (בגלל המציין), במילים פשוטות - מרחב וקטורי מעל Z/pZ.
ולכן מטענה בסיסית בלינארית 1, כל מ"ו מעל Z/pZ הוא מהצורה zz (Z/pZ)^l zz, ולכן הגודל של K/F הוא p^l.
&nbsp
עכשיו ניקח וקטור v ב-K, אני טוען ש-F-span{v} / F הוא תת-מרחב וקטורי (מדוע?).
ולכן נוכל להוסיף "וקטור בסיס" אחרי "וקטור בסיס" עד שנקבל את כל K/F, ולכן p^l=סכום של מרחבים וקטורים שהם ממימדים p^di.
&nbsp
עכשיו, כל מרחב וקטורי כזה איזומורפי לאחר (מדוע?), ולכן תקבל בסה"כ zz [K:F] zz מרחבים כאלו, כל אחד ממימד p^d1 וסה"כ p^l=[K:F]p^d1 כלומר zz [K:F] zz הוא חזקה של p.

 

[ןן גיל ןן]

לא חושב שזה יעבוד

אם F שדה אינסופי, K מרחב וקטורי ממימד n מעל F, אז K/F מרחב וקטורי ממימד n-1 מעל F, וגם הוא אינסופי.

דרך אחרת: להוכיח באינדוקציה על הדרגה שאם K^p מוכל ב-F אז הדרגה היא חזקה של p. נבחר איבר a ב- K\F. נסמן b=a^p. אז a מאפס את הפולינום x^p-b, והתרגיל הוא להוכיח שזה הפולינום המינימלי של a.

מכאן מקבלים שהדרגה של K(a):K היא p וממשיכים באינדוקציה.

 

[הרוצה להחכים]

תודה לכם.

 

[1ca1]

הוא אינסופי, אבל נוצר סופית

והוא גם Z/pZ מודול.
&nbsp
הרעיון מגיע מבנייה של שדה שאריות של אידיאל ראשוני בחוג שלמים של שדה למשל.
&nbsp
אני מסכים שהרעיון שלך טוב יותר תוך שימוש בקריטריון אייזנשטיין

.

 

[ןן גיל ןן]

בהחלט מבין את המוטיבציה

אבל המושגים של חוג מנה וגם קריטריון אייזנשטיין לא תופשים כאן, כי אין לנו מבנה אינטגרלי.
השדה נוצר סופית (כשדה וכמ"ו), אך לא מעל Z/pZ.
כדי להוכיח אי-פריקות מתבוננים על השורשים בסגור האלגברי (יש רק אחד) ולכן יש רק אופציה אחת לפירוק, והמקדמים שלה לא מהשדה הקטן.

 

[1ca1]

אבל רגע, למה יש רק אחד? למה אין לך שורשי יחידה?
&nbsp
לדעתי אתה צריך לעבור לסגור גלואה של K מעל F (ואם צריך אולי גם להוסיף כמה שורשי יחידה) ואז להראות שההרחבה הזו היא מדרגה של חזקת p, ואז אתה מקבל מהכפליות של הדרגה את מה שאתה רוצה.

 

[ןן גיל ןן]

בגלל הזהות:

x^p-a^p=(x-a)^p

 

[1ca1]

יפה מאוד!