העתקות לינאריות

[white shadow 3]

העתקות לינאריות

נתונה העתקה T;V--->V כאשר dim(v)=4.
נתון כי {v1,v2,v3,v4} בסיס של v ונתון כי T(V3), T(V4) ׁ בסיס של של התמונה של T.
השאלה היא - האם {V1,V2} הם בסיס של הגרעין.

פרט לעובדה שהמימד של התמונה הוא 2 ולכן המימד של הגרעין הוא גם 2 לא כ"כ הצלחתי להבין את אני מתקדם מכאן...

תודה!

 

[1ca1]

טוב

הגרעין הוא משהו דו-מימדי, אז כאשר אתה זורק את הבסיס של V, תקבל בתוכו משהו דו-מימדי שנהרג.
עכשיו אם V1,V2 שניהם בגרעין, הם אוטומטית בת"ל ולכן בסיס.
הבעיה שהם לא חייבים להיות בגרעין, זה ברור למה. נניח ש-v1,v2 בסיס של הגרעין, אז גם הרביעייה הבאה -
zz {v1+v3,v2+v3,v3,v4} zz
היא בסיס למרחב, וכמובן בת"ל (זאת תוצאה של הפעלת מטריצה אלמנטרית הפיכה על העמודות המתאימות).
ואז יהיה לך u1=v1+v3, u2=v2+v3, u3=v3, u4=v4 בדיוק באותו מצב.
אז u1,u2 בכלל לא נמצאים בגרעין (מדוע?), ובטח לא יכולים להיות בסיס אליו.

 

[white shadow 3]

ההסבר לכך שu1/u2

לא בגרעין זה בגלל שטענו כי
v1+v3, v2+v3 הם בבסיס של V ולכן חייבים להיות שונים מוקטור האפס, נכון?

 

[FineSilverMan]

כן ולא, אני מאמין

Tv2 ו-Tv1 הם הבסיס של הגרעין של T
כי הרי שני הוקטורים הם לא צ"ל של v3 ו-v4 (כי ארבעת הוקטורים בת"ל).

יש לנו כאן הטלה של מרחב למישור. קל יותר לדבר על הטלה של דו מימד לחד מימד.
נסתכל על הוקטור (4,5)
ניתן לכתוב אותו כצ"ל של: zzz (4,5)=4(1,0)+5(0,1) zzz
ניתן להטיל אותו בכמה דרכים: "צל" על הציר האופקי, או האנכי, או לשמר את האורך שלו וכדומה.
הטלנו אותו כך שיעשה צל על הציר האופקי, כלומר העתקה T מבצעת: T(4,5)=(4,0) zzz
כלומר: 4T(1,0)+5T(0,1)=4(1,0)+5(0,0)=(4,0) zzz
וקטור אחד הועתק כרגיל והוקטור השני הועתק לאפס.

ומבחינת משפט המימדים, ממימד 2, ירדנו למימד 1 ולכן מימד 1 נשלח לגרעין.

מקווה שאני צודק.