הערונת

[אוילר]

הערונת

קראתי את המאמר המצוין של FINGERTIP על האינסוף והתרשמתי מאוד. למרות זאת יש בו נקודה שלא מובהרת היטב: נאמר שם כי קבוצה אינסופית אותה ניתן לסדר בשורה בה יש "איבר ראשון", "איבר שני" וכך הלאה היא בת מניה (ברת מניה). המצב אינו כזה, שכן כל קבוצה אינסופית ניתנת לסידור שכזה (ולמעשה לסידור הרבה יותר נוקשה מזה). מה שנכון הוא שכל קבוצה שניתן להתאים אותה "זוגות זוגות" כמו שתואר שם אם המספרים הטבעיים (או המקומות) היא בת מניה..

 

[fibonachi]

מתקן

אם כל קבוצה אינסופית אפשר לסדר כך שיש איבר ראשון שני אז זו בעצם ההתאמה לטבעיים ואז כולם בנות מניה

 

[ויטגנשטיין]

לא נכון...

קבוצה בת-מניה היא קבוצה שאפשר ליצור בה סדר של איבר ראשון שני ושלישי... כדי להסביר למה יש קבוצות שאינן מקיימות את הכלל הזה קל להסתכל על קבוצת המספרים הממשיים... בקבוצה זו אם קבעת סדר מסויים אז בקלות אפשר להראות שיש עוד איברים בין האיבר הראשון לשני..ומכאן אין סדר מסויים לאיברים..

 

[ailag]

.. וניתן לדעת על כל איבר את האינדקס

שלו. למשל, ב-N , נסדר את המספרים בסדר עולה ועל מליון נגיד שהוא האיבר המליון. בזוגיים, נסדר בסדר עולה ועל שני מליארד נגיד שהוא האיבר המליארד. ב [0,1], נסדר אותם בסדר עולה ו .. מה המקום של חצי? רבע? אחד חלקי שורש 2? אפשר לסדר אותם אבל אף מספר לא ידע כמה מספרים יש לפניו. (אם מישהו רוצה להפריך, סבבה - תנסו. אבל תזכרו: בין כל שני מספרים יש מספר רציונלי ומספר אי רציונלי) בעצם, מה שניסיתי לעשות בשלוש הדוגמאות היא התאמה חח"ע בין הקבוצה הנתונה ל-N, קבוצת הטבעיים. הצלחתי רק פעמיים. תגידו, מה ההגדרה הרשמית של עוצמה? "מספר האיברים בקבוצה" או "עוצמה שווה לחברתה אם קיימת פונקציה הפיכה ביניהן"? כי ההגדרות לא מתאימות והגדירו לנו עוצמות עם שתיהן.

 

[איגור קרסיק]

נסיון

הנה רעיון שלי: עצמה של קבוצה A היא קבוצת כל הקבוצות ששקולות ל-A. עצמה 0 מוגדרת כעצמת הקבוצה הריקה. עצמה 1 מוגדרת כעצמת הקבוצה {{}} = A0 עצמה n+1 מוגדרת כעצמת הקבוצה An-1 איחוד עם n (קבוצה זו תסומן ב-An).

 

[ailag]

../images/Emo45.gif

 

[סתאאאם כי בא לי לדבר]

אפשר בבקשה לקבל לינק למאמר

אני חולה על אינסוף

 

[fibonachi]

הנה

 

[אוילר]

לא...

כל קבוצה באשר היא ניתנת לסידור בסדר שיש בו איבר ראשון שני וכך הלאה....גם המספרים הממשיים....למעשה, כל קבוצה ניתנת לסידור בסדר כך שלכל תת קבוצה שלה יש איבר ראשון. משפט זה נקרא משפט הסדר הטוב והוא שקול לחלוטין לאקסיומת הבחירה וללמה של צורן.... כמובן, על רוב הקבוצות לא נמצא סידור כזה באופן קונסטרוקטיבי אך הוכח שהוא קיים....אם תרצו אתן דוגמא לקבוצה שאיחנה בת מניה שניתנת לסידור כזה... למקרה שלנו, אני עצמי יכול לחשוב על סידור של הממשיים כך שיש איבר ראשון, שני וכך הלאה. על המספרים הממשיים אגדיר את היחס הבא: xRy אם : x ו y מספרים טבעיים ו x<y. או: x ו y אינם מספרים טבעיים ו x<y או: x מספר טבעי ו y לא. זהו יחס סדר על הממשיים- קל לבדוק שהוא אי רפלקסיבי( כלומר לא קיים x כך ש xRx) אנטי סימטרי ( אם xRy אז לא yRx) וטרנזיטיבי (אם xRy ו yRz אז xRz).בסדר זה קיימים "איבר ראשון"-1 , "איבר שני" -2 וכך הלאה אבל קבוצת הממשיים אינה בת מניה! באופן דומה הייתי יכול לעשות זאת על כל קבוצה: הייתי מגדיר עליה יחס סדר שרירותי >, הייתי בוחר ממנה קבוצה בת מניה והיא הייתה "האיברים הראשונים שלי"

 

[fibonachi]

או שלא הבנתי אותך

או שהז לא נכון, כי תסתכל ברור ש1 הוא ראשון אבל למה 1.5 הוא לא השני יש פה הרבה שיכולים להיות השניים אבל אם נקח בו נגיד כמו שאתה אמרת שורה כזאת אתה בעצם לא מסדר את כל האייברים איפה בו נגיד 1.5 יבוא הוא בכלל לא בשורה.

 

[סתאאאם כי בא לי לדבר]

כל סדר שלא תבחר

יהיו מספרים ממשיים, שלא יגיע תורם לעולם להיכנס לסדר, ולכן מדובר כאן באינסוף יותר "גדול" מאינסוף בר מניה

 

[אוילר]

נכון....

זהו אכן אינסוף יותר גדול מבר מניה, בו כן סודרו כל (!!) האיברים כך שיש "איבר ראשון", "איבר שני" וכך הלאה, דבר הסותר את הטענה!

 

[אוילר]

נכון....

זהו אכן אינסוף יותר גדול מבר מניה, בו כן סודרו כל (!!) האיברים כך שיש "איבר ראשון", "איבר שני" וכך הלאה, דבר הסותר את הטענה (אלא אם כן איני מבין למה הכוונה ב"לסדר בשורה" ואם כך הוא המצב שמישהו יתן הגדרה פורמלית...)

 

[אוילר]

נראה לי...

נראה לי שאני מתחיל להבין למה אתם מתכוונים בלסדר בשורה במובן האינטואיטבי (ומבין מדוע הסדר שלי לא עונה על דרישה זו), אך למרות זאת, סדר "טוב", כלומר סדר בו לכל תת קבוצה יש איבר קטן ביותר, אשר כפי שציינתי ניתן לסדר בו כל (!!) קבוצה שהיא כן עונה על הדרישה...

 

[אוילר]

ולגבי ה"כל סדר"

זה גם לא נכון....כל המספרים הממשיים יכנסו לשורה בסדר טוב על R

 

[סתאאאם כי בא לי לדבר]

לא מספיק

שיהיה סדר בין כל שני מספרים ושנוכל להחליט מי מהם יותר גדול ומי יותר קטן. מה שצריך להתקיים זה שהמספרים לא יהיו רציפים אלא בדידים. כלומר שלא יקרה מצב שבו בין כל שני מספרים (שמסודרים לפי הסדר), יוכל לבוא מספר שלישי אחר. לדוגמא: ניקח את המספרים השלמים: בין 6 ל- 7 אין אף מספר, ולכן בזה נגמר הסיפור, כלומר 7 בטוח בא אחרי 6 בסדר. ניקח את המספרים הממשיים: בין 6 ל-7 יש את 6.5, אבל זה לא נגמר שם, כי בין 6 ל- 6.5 יש את 6.25, וכו, תמיד בין כל שני איברים יש עוד איברים, כך שלא משנה איך תסדר את האיברים בשורה, בטוח לא כללת את כולם. (דרך אגב נסה להוכיח שקבוצת המספרים השלמים (גם חיובי וגם שלילי), היא בת-מניה. מתצא סדר שבטוח מכיל את כולם). (אם זה קל מידי: נסה להוכיח שקבוצת המספרים הראציונליים, היא בת מניה).

 

[אוילר]

אוקיי...

זאת דרישה יותר חזקה מאשר לסדר את הקבוצה בשורה ...זו דרישה שכל רישא ממש היא סופית, והיא אכן שקולה להיותה של הקבוצה בת מניה....

 

[Fingertip]

מצטער... עדיין לא הבנתי מה לא טוב..

הדרישה הייתה: לסדר את כל המספרים בשורה כך שיש "אבר ראשון", "אבר שני", "אבר שלישי" וכך הלאה. ב"וכך הלאה" התכוונתי כמובן שכך מכסים את כל הקבוצה. אשמח לראות היכן אני טועה. אהד.

 

[סתאאאם כי בא לי לדבר]

מי אמר שאתה טועה

 

[סתאאאם כי בא לי לדבר]

הדרישה המדוייקת היא

שניתן לסדר את המספרים כך שניתן למספר אותם כסדרה. (או אפילו ניתן פשוט להראות שלקבוצה זו יש אותה עוצמה כמו למספרים הטבעיים). מה שצריך לבדוק, זה שכל איבר בקבוצה מגיע תורו להיות ב"שורה"