הסתברות בסיסית

[הרוצה להחכים]

הסתברות בסיסית

מחלקים באקראי קבוצה של 12 ילדים (7 בנים ו-5 בנות) לארבע שלישיות.
מה ההסתברות שתיווצרנה שתי שלישיות של בנים ?

אני מצרף את הנסיון שלי, אשמח להסבר מה לא נכון או חסר בו.
שני הגורמים הראשונים במונה מציינים את מספר האפשרויות לבחור את שתי השלישיות של הבנים והסידור שלהם לקבוצות. והגורם השלישי (5 מעל 3) מציין את מספר האפשרויות לבחור את 3 הבנות שיהיו יחד בקבוצה (מוכרח הרי שתהיה שלישיה של בנות), והשלישיה הרביעית והאחרונה נקבעת ממילא (כלומר יש לה רק אפשרות אחת).

 

[עריסטו]

אז ככה

לא ניסיתי להבין את הפתרון שלך אבל אני הייתי פותר ככה.
כדי ליצור את השלשות אפשר לסדר את כל ה-12 בשורה, ואז שלושת הראשונים יהיו השלשה הראשונה, השלושה שאחריהם יהיו השלשה השניה וכו'.
כמה אפשרויות יש לבחור את המיקום של הבנים בשורה? 12 מעל 7 = 792.
כמה אפשרויות יש לבחור את המיקום של הבנים בשורה כך שיהיו שתי שלשות של בנים? יש 4 מעל 2 = 6 אפשרויות לבחור את המיקום של השלשות. לכל אחת מהן יש 6 אפשרויות לבחור את המיקום של הבן השביעי. סה"כ 36 אפשרויות.
לכן ההסתברות המבוקשת היא 36/792 = 1/22.

 

[הרוצה להחכים]

יפה, יותר אלגנטי. תודה.

 

[הרוצה להחכים]

המשך

עריכה:מחקתי כי זיהיתי טעות בדברים.

 

[הרוצה להחכים]

המשך - אחרי חשיבה נוספת

&nbsp
עכשיו אני צריך למצוא את ההסתברות שתיווצרנה רק שלישיות מעורבות.
&nbsp
בהתחלה חשבתי לעשות 1 פחות ההסתברות לשתי שלישיות של בנים פחות ההסתברות לשלישיית בנים אחת פחות ההסתברות לשלישיית בנות. אבל בדיעבד (בגלל זה מחקתי את ההודעה הקודמת) שמתי לב שאלה לא בהכרח מאורעות זרים. ככה שזאת לא בהכרח דרך נחמדה כל כך. יש הצעה אחרת לדרך פשוטה יותר?

 

[עריסטו]

כן

כל השלישיות יהיו מעורבות אם ורק אם בשלישיה אחת יש שתי בנות בדיוק ובכל אחת מהשלישיות האחרות יש בת אחת בדיוק. יש 4 אפשרויות לבחירת השלישיה עם שתי בנות. אחרי שהיא נבחרה, בכל שלישיה יש 3 אפשרויות למיקום של הבנות. סה"כ 324 אפשרויות. לחלק ל-792 יוצא 9/22.

 

[הרוצה להחכים]

תודה, ועוד אחת

מסדרים בשורה על מדף 20 ספרים שונים, 4 אדומים ו- 16 ירוקים.
&nbsp
מה ההסתברות שלא יהיו על המדף 2 ספרים אדומים (או יותר) סמוכים זה לזה?
&nbsp
&nbsp

 

[עריסטו]

ככה

מספר הדרכים לבחור את מיקום הספרים האדומים = 20 מעל 4 = 4845.
כדי שלא יהיו ספרים אדומים סמוכים, בעצם צריך לבחור 4 מבין 17 הרווחים בין הספרים הירוקים (כולל רווח בהתחלה ובסוף) ובהם לשים ספרים אדומים. מספר האפשרויות = 17 מעל 4 = 2380.
הסתברות = 2380/4845 = 28/57.

 

[הרוצה להחכים]

תודה, ועוד שניים אחרונים

(באמת שניסיתי לבד, אבל הסתבכתי, אני מאבד את הצפון כשאני נכנס לשאלות חישוביות...)
&nbsp
&nbsp
כאמור, נתונים 20 ספרים שונים כאשר 4 אדומים ו- 16 ירוקים.
&nbsp
1)מה ההסתברות שיהיו לפחות 3 ספרים אדומים זה לצד זה ?
&nbsp
ניסיתי גם לחשב את ההסתברות של בדיוק 3 ספרים אדומים זה לצד זה ולחבר אותה עם ההסתברות של 4 ספרים אדומים זה לצד זה. וגם להסתכל על המאורע המשלים. כמו שאמרתי, לא הצלחתי לצאת מזה...
&nbsp
2)מה ההסתברות שיהיו לפחות 2 ספרים ירוקים בין כל שני ספרים אדומים ?

 

[עריסטו]

שיהיו לפחות 3 ספרים אדומים זה לצד זה:
אז באמת נחשב את ההסתברות של בדיוק 3 ספרים אדומים זה לצד זה ונחבר אותה עם ההסתברות של 4 ספרים אדומים זה לצד זה.
בין 16 הספרים הירוקים יש 17 רווחים (כולל רווח בהתחלה ובסוף). כדי שיהיו בדיוק 3 ספרים אדומים זה לצד זה צריך לבחור רווח אחד ולשים בו 3 ספרים אדומים ועוד רווח ולשים בו ספר אדום. סה"כ 272 אפשרויות. כדי שיהיו 4 ספרים אדומים זה לצד זה צריך לבחור רווח ולשים בו 4 ספרים אדומים - 17 אפשרויות. סה"כ 289 אפשרויות. לחלק ל-"20 מעל 4" זה 289/4845 או 17/285.

 

[עריסטו]

שיהיו לפחות 2 ספרים ירוקים בין כל שני ספרים אדומים:
נעשה ככה - נסדר על המדף 14 ספרים, מתוכם בדיוק 4 אדומים. עכשיו נדחף מייד משמאל לאדום השני משמאל עוד שני ספרים ירוקים, גם משמאל לאדום השלישי משמאל נדחף עוד שני ספרים ירוקים, וגם משמאל לאדום הימני נדחף עוד שני ספרים ירוקים. כך קיבלנו סידור של 16 ירוקים ו-4 אדומים שעומד בדרישות. לכן מספר האפשרויות לסדר 16 ירוקים ו-4 אדומים כך שיהיו לפחות 2 ספרים ירוקים בין כל שני ספרים אדומים הוא 14 מעל 4 = 1001. נחלק ב - 4845 ונקבל שההסתברות היא 1001/4845.

 

[הרוצה להחכים]

תודה על כל העזרה