הסתברות בסיסית

[הרוצה להחכים]

הסתברות בסיסית

ומבלבלת, די הסתבכתי עם זה...

נתונים 6 שולחנות זוגיים המסודרים בשני טורים של 3 שולחנות כל אחד, דהיינו:

XX XX
XX XX
XX XX

מה ההסתברות להושיב 5 ילדים כך שבכל שורה ישבו לכל היותר 2 ילדים ?

 

[עריסטו]

ככה

ההסתברות שילדים א ב ג יישבו בשורה אחת ולא יישב בה אף אחד אחר:
(3/11)(2/10)(8/9)(7/8)
הסבר - נושיב את הילדים לפי הסדר א ב ג ד ה, אז כשבאים להושיב את ב יש הסתברות 3/11 שהוא יישב בשורה של א. אם הוא יושב בשורה של א, כשבאים להושיב את ג יש הסתברות 2/10 שהוא יישב בשורה של א ו-ב, וכן הלאה.
ההסתברות שיהיו 3 ילדים כלשהם בשורה אחת ולא יישב בה אף אחד אחר:
(3/11)(2/10)(8/9)(7/8)C(5,3)
ההסתברות שילדים א ב ג ד יישבו בשורה אחת:
(3/11)(2/10)(1/9)
ההסתברות שיהיו 4 ילדים כלשהם בשורה אחת:
(3/11)(2/10)(1/9)C(5,4)
ההסתברות שלא יהיו 3 או 4 ילדים בשורה אחת:
1-(3/11)(2/10)(8/9)(7/8)C(5,3)-(3/11)(2/10)(1/9)C(5,4)

 

[עריסטו]

פתרון

בעצם אנחנו רוצים שתהיה שורה עם שני ילדים, עוד שורה עם שני ילדים, ושורה עם ילד אחד.
מספר האפשרויות הכללי לבחור חמישה מקומות מתוך 12 הוא 792.
מספר האפשרויות בהן החלוקה בין השורות היא 2-2-1 הוא:
קודם כל יש 12 אפשרויות לבחור את המקום בו יישב הילד הבודד שאין עוד ילד בשורתו.
אחר כך, לכל אחד משתי השורות האחרות, יש 6 אפשרויות לבחור שני מקומות.
בסך הכל 432 אפשרויות.
לכן הפתרון הוא 432/792 כלומר 9/22.

 

[הרוצה להחכים]

אהממם

אני זקוק להבהרה, לא הבנתי לגמרי.
&nbsp
לגבי הילד שיושב לבד, מדוע לא מכפילים את 12 ב- 5 ? הרי יש חמש אפשרויות לבחור את הילד שישב בשורה לבד.
וגם לגבי שתי השורות עם השתי ילדים אני זקוק להסבר לגבי השיקול.
&nbsp
תודה

 

[עריסטו]

אבל בפתרון הזה אני לא מבחין בין הילדים

כמו שבתחילת החישוב חישבתי את מספר האפשרויות לבחור 5 מקומות מתוך 12, ולא התייחסתי לשאלה מי יושב איפה.

 

[הרוצה להחכים]

אוף, משהו כאן לא ברור לי

אבל הרי הסידור
&nbsp
ילד א ילד ג XX
X ילד ב X X
ילד ד ילד ה XX
&nbsp
שונה מהסידור:
&nbsp
ילד ב ילד ד XX
X ילד ג XX
ילד א ילד ה XX
&nbsp
(אני מקווה שאני ברור במה שניסיתי לומר...)

 

[עריסטו]

גם הסידור

בו לילד א יש כובע שונה מהסידור בו לילד א אין כובע. למה זה רלוונטי? באותו אופן גם הזהות של הילדים לא רלוונטית.
נניח שבמקום התרגיל המקורי היה תרגיל כזה: "בוחרים חמישה כסאות ומניחים על כל אחד מהם כדור (כל הכדורים זהים). מה ההסתברות שבכל שורה יהיו לכל היותר שני כדורים?" האם הגיוני שהתשובה הסופית בתרגיל הזה שונה מהתשובה הסופית בתרגיל המקורי?
אפשר להסתכל על זה גם כך: הרי בפתרון שלי הגעתי לשבר 324/792. אם רוצים אפשר להבחין בין הילדים כמו שכתבת. אבל זה בסך הכל כופל גם את המונה וגם את המכנה ב-120, כי אחרי שבוחרים את המקומות של הילדים, יש 120 אפשרויות לסדר אותם בהם.

 

[הרוצה להחכים]

תודה!