יום הבוחר
אקסיומת הבחירה הינה האקסיומה הפחות מקובלת בין אקסיומות תורת הקבוצות. מתמטיקאים רבים לא רואים באקסיומה זו אמירה "טבעית" לגבי עולם הקבוצות, ומעדיפים לא להשתמש בה בהוכחותיהם, אם אפשר. אקסיומת הבחירה אומרת: לכל קבוצה X של קבוצות לא ריקות קיימת פונקציה שתחומה X, המתאימה לכל קבוצה A ב-X איבר מ-A. פונקציה זו נקראת פונקצית בחירה עבור X. הלמה של צורן היא טענה השקולה לאקסיומת הבחירה תחת שאר אקסיומות תורת הקבוצות. כלומר - ניתן להוכיח את הלמה של צורן בתורת הקבוצות עם אקסיומת הבחירה, וניתן להוכיח את אקסיומת הבחירה בתורת הקבוצות עם הלמה של צורן במקום אקסיומת הבחירה. הלמה של צורן אומרת: אם P הוא סדר חלקי, ולכל שרשרת ב-P יש חסם מלעיל, אז קיים ב-P איבר מירבי. ההוכחה של הלמה של צורן מאקסיומת הבחירה היא מעט מורכבת, אך אוכל לנסח בקצרה את הוכחת אקסיומת הבחירה מהלמה של צורן: תהי X קבוצה של קבוצות לא ריקות. ברצוננו למצוא פונקצית בחירה עבור X. תהי B קבוצת כל פונקציות הבחירה החלקיות עבור X, כלומר קבוצת כל הפונקציות שתחומן חלקי ל-X והן מתאימות לכל A בתחום איבר של A. נתיחס ל-B כאל סדר חלקי, מסודר לפי יחס ההכלה של קבוצות. לכל שרשרת ב-B איחוד השרשרת גם הוא פונקצית בחירה חלקית עבור X, כלומר חסם מלעיל של השרשרת ב-B. אם כן, לפי הלמה של צורן, קיים ב-B איבר מקסימלי C. יוצא ש-C היא פונקצית בחירה עבור B, שכן אחרת תחומה היה חלקי ממש ל-B, וניתן היה להרחיבה, בסתירה להיות C איבר מקסימלי של B. ובנשימה זו כדאי גם להזכיר טענה שלישית, השקולה לאקסיומת הבחירה וללמה של צורן. זהו משפט הסדר הטוב, האומר שלכל קבוצה X קיים סדר טוב על X. סדר טוב הוא סדר קווי (או "שלם") בו לכל תת-קבוצה לא ריקה יש איבר ראשון. משפט הסדר הטוב מאפשר למיין קבוצות לפי עוצמתן, מאחר ובעזרתו ניתן להתאים לכל קבוצה X קבוצה סדורה היטב שוות-עוצמה ל-X ("קבוצת אלף").
