הוכחת כוח משמר?

[engti]

הוכחת כוח משמר?

הבנתי שיש מספר דרכים להוכיח שכוח משמר. רציתי לדעת אם זה הוכחה מלאה:

1. אם נתון כוח שהוא פונקציה וקטורית לפי רכיבי x,y,z אז נגזרות חלקיות מנוגדות צריכות להיות שווה:

לדוגמא:

df_x/dy = df_y/dx מה קורה עם רכיב z? הנגזרת שלו צריכה להיות שווה גם כן שני הנגזרות לפי x\y?

2. דרך שניה הוא גרדיאנט X פונקציה וקטורית (כפל וקטורית) משמע רוטור. אשמח להסבר ואולי איזו דוגמא כזו.

תודה רבה!!

 

[Practical Realist]

תשובה

הגדרה של כוח משמר היא כוח שהעבודה שלו לאורך מסלול סגור שווה סה"כ 0. כלומר בחלק מן המסלול הוא יגרום להוצאת אנרגיה מן המערכת, ובחלק אחר יוסיף את אותה אנרגיה שהוציא.

לגבי 2, דוגמה טובה היא משוואות מקסוול. הכוח האלקטרוסטטי הוא כוח משמר, ואכן כאן ניתן לראות כיצד גרדיאנט של וקטור השדה החשמלי משמש במשוואה (הצד הימני של המשוואה הוא הרוטור).

 

[engti]

שאלה

גרדיאנט אפשר לעשות רק על פונקציה במשתנה סלקרי.
מה עושים כאשר נתון כוח F שהוא פונקציה וקטורית ולא סקלרית?

ובשורה השניה של הדטרמינטה שיש נגזרות חלקיות, במידה ויש פונקציה כזו לדוגמא: f(x,y)=2x^2*i+(y^6+x^2)*j
כאשר גוזרים חלקי לדוגמא לפי x, גוזרים רק את הקטע של i או גם את j ומחברים?

 

[Practical Realist]

תשובה

גרדיאנט ניתן לעשות גם על פונקציה וקטורית, ואז התוצאה נקראת רוטור ומציינת את נטיית הגודל הוקטורי להסתובב סביב נקודה מסויימת. הגרדיאנט הוא גזירה חלקית של הפונקציה לפי כל משתנה לחוד.

כאשר גוזרים פונקציה בנגזרת חלקית לפי אחד המשתנים, אז גוזרים את כל חלקיה שכוללים את המשתנה. למשל, בדוגמה שנתת:
df(x)/dx=4xi+2xj
df/dy=6y^5j

 

[דניאל החכם]

כח משמר הוא כח שהרוטור שלו זה אפס

מתוך מתימתיקה ניתן לחשב שזה הכון לכל כח שמוגדר ע"י גרדינט של סקלר.

"נגזרות חלקיות מנוגדות" זה חלק מחישוב הרוטור

 

[דניאל החכם]

הסתכל גם כאן

http://en.wikipedia.org/wiki/Curl_(mathematics)#Usage