הוכחת הכלה

[a1020]

הוכחת הכלה

A1,A2 שתיי משפחות של תת קבוצות ב-X.
מתקיים(A1 C A2 C sigma(A1 (במילים - A1 מוכלת ב-A2 שמוכלת ב(sigma(A1. האמת שכתבתי הכלה ממש אבל בניסוח של השאלה זה הכלה. לאו דווקא הכלה ממש. לא שזה קריטי כ"כ נראה לי).

צריך להוכיח ש (sigma(A1) = sigma(A2
לגבי ההכלה מימין לשמאל, אני רוצה להגיד שמאחר וA2 מוכלת בsigma(A1)
ומאחר ו-sigma(A2) היא הסיגמה אלגברה המינימלית שמכילה את A2, אז sigma(A2) מוכלת בsigma(A1).
אבל זה לא נראה לי הסבר נכון. זה שsigma(A2) היא הסיגמה אלגברה המינימלית שמכילה את A2, וזה ש sigma(A1) היא סיגמה אלגברה כלשהי שמכילה את A2, עדיין לא מבטיח שsigma(A2) מוכלת בsigma(A1). כי אני לא יודע אם סיגמה אלגברה מינימלית של קבוצה מוכלת בכל סיגמה אלגברה אחרת שמכילה את אותה קבוצה. למעשה זה לא נראה לי נכון בכלל המשפט האחרון שכתבתי.


לגבי ההכלה משמאל לימין, אני יודע שA1 מוכלת בA2. הייתי רוצה להגיד
שנובע מכך שsigma(A1) מוכלת בsigma(A2). אבל גם אם זה נכון, לא חושב שאני יודע להסביר למה לא יתכן שבsigma(A1) יהיו איברים שלא נמצאים ב-sigma(A2).

 

[AnarchistPhilosopher]

סיגמא של A1 היא משפחה של קבוצות, לכן זה לא יחס הכלה אלא יחס

שייכות, צריך להיות בהתחלה.
&nbsp
הרי הסיגמא אלגברה הזו כוללת את A1 בתור איבר בה.
&nbsp

 

[a1020]

אתה מתכוון ש

אתה מתכוון שהניסוח של השאלה עצמה צריך להיות שונה ממה שכתבתי?
כי הניסוח המקורי של השאלה הוא כמו שכתבתי.
איפה בדיוק אתה טוען שצריך להיות יחס שייכות. לאיזה חלק בדיוק מתוך ניסיון ההוכחה שכתבתי אתה מתכוון?

ובאופן כללי, (sigma(A1 אם אני מבין נכון, זו סיגמה אלגברה שמוגדרת מעל הקבוצה X. שזה אומר שהיא קבוצה של קבוצות חלקיות ל-X שמקיימת את 3 הדרישות של סיגמה אלגברה.
כמו כן, היא מכילה את הקבוצה A1 ומבין כל הסיגמה אלגברות שמכילות את A1, היא המינימלית. כלומר היא מוכלת בכל סיגמה אלגברה אחרת שמכילה את A1.

 

[AnarchistPhilosopher]

כן, כנראה התבלבלתי כאן.

אתה צודק.
anyway for your question, if sigma(A1) is the sigma algebra generated by A1, and A1 is a subset of A2 then
sigma(A1) is a subset of sigma(A2) by definition of sigma(A1) = /\{A: A is a sigma algebra and A1 \subset A}
so since sigma(A2) is a sigma algebra and A1 \subset A2 \subset sigma(A2), we indeed get that: sigma(A1)\subset sigma(A2).
&nbsp
As for the other inclusion, i.e sigma(A2)\subset sigma(A1)
again by definition: sigma(A2) = /\{A: A \is a sigma algebra s.t A2 \subset A}
&nbsp
We have A2 \subset \sigma(A1) where sigma(A1) is a sigma algebra, now since sigma(A2) is the intersection of all such sigma-algebras that contain A2 it must be a subset of sigma(A1).
&nbsp
אתה צריך להשתמש בהגדרת החיתוך של סיגמא אלגברה הנוצרת ע"י קבוצה כלשהיא.
&nbsp

 

[a1020]

פרט קטן לגבי המעבר הראשון. כתבת (A1 C A2 C sigma(A2

ההכלה (sigma(A2) C sigma(A1
ברורה לי.
ההכלה בכיוון ההפוך לא ברורה לי.

כתבת ש A2 מוכלת ב(sigma(A2 .
היא אמורה להיות שייכת לsigma(A2) ולא מוכלת בה. או שאני מתבלבל?
דבר שני, אתה אומר ש(sigma(A1 זה החיתוך של כל הסיגמה אלגברות שמכילות את A1.
אז בעצם בשביל לסגור את ההוכחה, אם אוכיח ש-sigma(A2) מכילה את A1, סיימתי כי sigma(A2) היא סיגמה אלגברה, שמכילה את A1 ולכן היא אחת מהקבוצות שמשתתפות בחיתוך לעיל. ומאחר וsigma(A1) שווה לחיתוך הזה, אז היא מוכלת בכל קבוצה בחיתוך הזה. בפרט היא מוכלת בsigma(A2).
למה אבל אני יכול להגיד שsigma(A2) מכילה את A1?
אני יודע ש-A2 שייכת לsigma(A2) . אומנם A1 מוכלת בA2, אבל זה לא אומר עדיין שA1 שייכת לsigma(A2).

יש משהו שאני לא מבין בהוכחה שלך או משהו שחסר לי בהבנה של ההגדרה של סיגמה אלגברה שנוצרת ע"י קבוצה?
או שיש טעות בהוכחה שלך?

תודה

 

[AnarchistPhilosopher]

אז אתה אומר שצדקתי בהתחלה כשאמרתי שמדובר ביחס שייכות?

כי אם לפי הנתון מתקיים ש-A1 is a subset of A2 which is a subset of sigma(A1)
&nbsp
then A1 is a subset of sigma(A1).
&nbsp
אני יודע שאני צודק תמיד למרות שאומרים לי תמיד שאני טועה... :->
&nbsp