הוכחת אי שוויון

[lifeofpai]

הוכחת אי שוויון

היי,
כיצד פותרים את זה?
חשבתי על חלוקה למקרים בגלל שa+b+c=1 אפשר לחלק את זה למקרים שכולם שווים ואז זה 8, שאחד קרוב ל-0 מאוד וכ'ו...
לא חושב שזה הוכחה מספיק מספקת, למישהו יש רעיון טוב יותר?

 

[טלמון סילבר]

אם אתה רשאי להשתמש בכלים "מתקדמים",

השתמש במשפט הבא: הממוצע ההרמוני של מספרים חיוביים קטן או שווה לממוצע החשבוני שלהם:
{[a^(-1) + b^(-1) + c^(-1)] / 3} ^ (-1) <= (a + b + c) / 3
:ומכאן
1/a + 1/b + 1/c >= 9 / (a + b + c)
:ובתרגיל הנ"ל
1/a + 1/b + 1/c >= 9
(1/a - 1)(1/b - 1)(1/c - 1) =
= 1/abc - 1/ab - 1/ac - 1/bc + 1/a + 1/b + 1/c - 1 =
= 1/abc - (a+b+c) / abc + 1/a + 1/b + 1/c - 1 =
= 1/abc - 1/abc + 1/a + 1/b + 1/c - 1 =
= 1/a + 1/b + 1/c - 1 >= 9 - 1 = 8

 

[lifeofpai]

האמת שלמדנו רק חשבוני והנדסי, אפשר בעזרתם?

תודה!

 

[טלמון סילבר]

איך הוכחתם שהממוצע ההנדסי קטן או שווה לממוצע החשבוני

של מספרים חיוביים?
בכל אופן, אם אפשר להסתמך על כך, אז בבקשה:
(a_1 + . . . + a_n) / n >=
>= (a_1 • . . . • a_n) ^ (1/n) =
= 1 / [(1/a_1 • . . . • 1/a_n) ^ (1/n)] >=
>= 1 / [(1/a_1 + . . . + 1/a_n) / n] =
= n / (1/a_1 + . . . + 1/a_n)

:ומכאן

1/a_1 + . . . + 1/a_n >= n² / (a_1 + . . . + a_n)
יש הוכחה נוספת לאי-השוויון הזה באמצעות אי-שוויון קושי-בונייקובסקי.

 

[טלמון סילבר]

ישנה כמובן הדרך "הגסה", הישירה,

לפתרון התרגיל. נניח ש-c קבוע, ונמצא את מינימום הביטוי עבורו. הוא יתקבל כאשר a=b. אח"כ אפשר למצוא את מינימום הביטוי בהנחה ש- a=b.

 

[עריסטו]

אי השוויון ההרמוני-חשבוני נובע מהחשבוני-הנדסי

אם תפעיל את אי-השוויון החשבוני-הנדסי על ההופכיים של מספרים נתונים תקבל את אי-השוויון ההרמוני-הנדסי. מצירוף ההרמוני-הנדסי והחשבוני-הנדסי התקבל ההרמוני-חשבוני.

 

[lifeofpai]

תודה לשניכם, אנסה.