הבטחתי חידה...

[Ali Abdulla Saleh]

הבטחתי חידה...

החוק הומצא ע"י נפוליאון אם אני זוכר נכון... נראה מי יצליח להוכיח אותו... קחו משולש, כל משולש, ובנו על כל צלע שלו משולש שווה צלעות. סמנו את האמצע של כל משולש שבניתם וחברו אותם , קיבלתם משולש שווה צלעות. מי יכול להסביר את זה?

 

[טלמון סילבר]

במה מותר להשתמש? הנדסה בסיסית

בלבד? טריגונומטריה? וקטורים? מספרים מרוכבים? באמצעות מספרים מרוכבים זה אמור להיות די פשוט.

 

[טלמון סילבר]

גם בטריגו זה יוצא די פשוט. לכתוב?

 

[טלמון סילבר]

שאלת הבהרה:

לאן המשולשים שווי-הצלעות "מסתכלים"? כנראה מחוץ למשולש המקורי?

 

[saaron]

לפי מה שהבנתי כן ../images/Emo4.gif

כל צלע היא בסיס למשולש שווה צלעות שכל הצלעות שוות לאותה צלע ספציפית.

 

[טלמון סילבר]

על כל צלע אפשר

לבנות שני משולשים כאלה.

 

[saaron]

אז אני חושב שהחוצה.....

פנימה זה יעשה בלאגן

 

[Ali Abdulla Saleh]

מצטער על הנוסח הלא ברור אולי...

המשולשים באמת בנויים כלפי חוץ. מותר להשתמש רק בגיאומטריה "פשוטה" בלי טריגו ושות'

 

[טלמון סילבר]

../images/Emo62.gif פתרון למקרה א' - כאשר

כל זוויות המשולש הנתון קטנות מ-120°. המשולש המקורי: ABC. D - מרכז המעגל החוסם את המשולש שווה-הצלעות הבנוי על צלע AB. E - מרכז המעגל החוסם את המשולש שווה-הצלעות הבנוי על צלע BC. F - מרכז המעגל החוסם את המשולש שווה-הצלעות הבנוי על צלע CA. שלושת מעגלים אלה נחתכים בנקודה אחת Q הנמצאת בתוך המשולש המקורי ABC, וה"מסתכלת" על כל צלעותיו בזווית 120°. הזוויות הבאות שוות:

∠ADF = ∠QDF ∠QDF = ½∠ADQ ∠QDE = ∠BDE ∠QDE = ½∠QDB ∠FDE = ∠QDF + ∠QDE = ½(∠ADQ + ∠QDB) = ½∠ADB = ½ * 120° = 60°​

כנ"ל שאר הזוויות של משולש DEF.

 

[טלמון סילבר]

../images/Emo62.gif פתרון למקרה ב' - כאשר אחת

הזוויות של המשולש המקורי שווה 120°. תהי זו זווית A תוך שמירת הסימונים של מקרה א'. המעגל החוסם את המשולש שווה-הצלעות הבנוי על צלע BC, שמרכזו בנקודה E, עובר גם דרך נקודה A. גם הישר DF עובר דרך נקודה A. הזווית:

∠FDE = ∠BDE = ½∠ADB = ½ * 120° = 60°​

כנ"ל הזווית DFE, וגם לשלישית FED אין ברירה.

 

[טלמון סילבר]

../images/Emo62.gif פתרון מקרה ג', כאשר אחת

מזוויות המשולש הנתון גדולה מ-120°. תהי זו זווית A. המשולש המקורי: ABC. D - מרכז המעגל החוסם את המשולש שווה-הצלעות הבנוי על צלע AB. E - מרכז המעגל החוסם את המשולש שווה-הצלעות הבנוי על צלע BC. F - מרכז המעגל החוסם את המשולש שווה-הצלעות הבנוי על צלע CA. המעגל הראשון והשלישי נחתכים בנקודה Q הנמצאת מחוץ למשולש המקורי ABC. קל להוכיח שהזוויות הבאות:

∠CQA = 60° ∠BQA = 60° ∠CQB = 120°​

ולכן גם המעגל הגדול עובר דרך נקודה Q. המשך ההוכחה זהה להוכחה של מקרה א', עם ההבדל היחידי שזוויות המשולש החדש מתקבלות כהפרש זוויות (במקום סכום).