דיברגנס

[syndromes]

דיברגנס

איני יודע ממש כיצד לדעת על פי וקטורי השדה, לאילו מהם יש דיברגנס ששווה אפס. ב-א' השדה הוא אחיד, לכן זה ברור ש-(div(E שווה אפס. ב' - השדה אינו אחיד, אך האם לכל מעטפת שנבנה, כל וקטור שייכנס אליה גם ייצא ממנה? ג' - השדה יכול לנבוע ממטען שלילי נקודתי ואז הדיברנגס שווה אפס, או מכדור טעון ואז הדיברנגס לא אפס, כיצד מבחינים? ד' - אני מניח שדיברגנס שונה מאפס, כיצד מסבירים זאת? שהשדה לא אחיד? (אבל גם ב-ב' הוא לא אחיד). אשמח לעזרה, תודה!

 

[johngalt2]

רעיונות

אני לא בטוח לגבי התשובות שלי (אני גם כן בדיוק לומד את זה עכשיו), אבל אני מקווה שהן יעזרו בכל זאת... טוב, לגבי א', ברור שאין מקורות, ולכן הדיברגנץ הוא אפס. לגבי ב' - כזה שדה היה יכול להווצר ע"י דיפול, למשל, שנמצא מימין לתמונה. אבל, השינוי נטו של השדה הואע בכיוון ימינה, ככה שהיה אולי אפשר לחשוב שהנגזרת החלקית שלו לפי x תהיה גדולה מהנגזרת החלקית לפי y. לכן אני לא בטוח... אבל אני מנחש שהוא שונה מאפס מהסיבה הנ"ל. אבל, לגבי זה אני ממש לא בטוח. לגבי ג' - לא הבנתי את הטענה... ברור שיש מטען שלילי כלשהו במרכז השדה, לא? הדיברגנץ כאן הוא ללא ספק שלילי. לגבי ד' - טוב, זה כבר טיעון אינטואיטיבי לגמרי, אבל אני לא חושב ששדה כזה היה יכול להווצר ע"י מקורות שנמצאים מחוץ לתמונה. יש כאן סימטריה מעגלית, מה שמרמז שאם המטענים נמצאים מחוץ לתמונה, גם להם יש סימטריה מעגלית. אבל אם יש להם סימטריה מעגלית, הם אמורים לבטל זה את זה, ולכן השדה נטו צריך להיות אפס. מכאן שחייבים להיות מקורות בתוך התמונה שיוצרים את השדה הזה. זו דעתי, לפחות.

 

[syndromes]

תודה על העזרה

הנה תשובותיי לתשובותיך. תחילה, לפי התשובות רק ב-ג' ו-ד' השדה שונה מאפס, "כי לא כל מה שנכנס גם יוצא". בקשר ל-ג' - אם תעשה דיברגנס על שדה של מטען נקודתי - E=kq/r^2 - תקבל דיברגנס אפס. ב-r=0 (שם נמצא המטען) לא ניתן לבצע דיברגנס כי השדה לא גזיר שם. בקשר ל-ד' - השדה הזה לא משמר, אז אני לא חושב שניתן לענות על השאלה מבחינה פיזיקלית, כי זה לא שדה שנוצר מפוטנציאל, משמע לא שדה שנוצר ממטען. נראה לי שזה יותר מתמטי הסעיף הזה. ב' - לפי התשובה הדיברגנס אפס, השאלה למה.

 

[johngalt2]

תשובות -

אוקיי, לגבי ב' הייתה לי הרגשה שזה כך. אגב, בדקתי בספר (Berkley vol. II 2ed, pp. 77, 81) - שם יש גם כן דוגמאות כאלו. כתוב שם שבמקרה של ב' מספיק לבדוק שהשינוי מסדר ראשון, כאשר מתקדמים לאורך קווי השדה, הוא אפס, וזה מספיק כדי להבטיח שהדיברגנץ יהיה אפס. לגבי ג' - לא הבנתי מה הקשר. למה להסתכל על זה כמו מתמטיקאי? יש מטען שלילי במרכז התמונה, וזה ממש לא משנה אם הוא נקודתי או לא, מה גזיר שם ומה לא גזיר. המצאות מקורות שליליים במרכז התמונה קובעת בצורה חד משמעית שהדיברגנץ שם שלילי. לגבי ד' - אני לא חושב שראיתי בשום מקום דרישה שאומרת שכדי לחשב דיברגנץ צריך שהשדה יהיה משמר. בסה"כ צריך קיום נגזרות חלקיות, שזו לא דרישה חזקה בכלל. אני אומר לך יותר מזה - בדוגמאות בספר של ברקלי (שאני ממליץ לך בחום להסתכל עליהן), צריך למצוא גם האם הדיברגנץ הוא אפס, וגם האם הרוטור הוא אפס. בחלק מהדוגמאות יש שדה עם רוטור שונה מאפס (ז"א, לא משמר) ואין שום בעיה. יש שם דוגמאות לשדה לא משמר עם דיברגנץ שווה לאפס ושונה מאפס. יותר מזה - החישוב של הדיברגנץ ושל הרוטור הוא נפרד לחלוטין ובלתי תלוי. לדעתי זה בדיוק להיפך - השאלה הזו לא מתמטית כלל (אף אחד מהשאלות לא מתמטיות באופיין, ויש לפתור אותן מתוך שיקולים פיזיקליים לגמרי, כפי שניתן לראות מיד מהעובדה שמבקשים ממך לתת הערכה איכותית מאוד לגבי הדיברגנץ בכל מקרה). דבר נוסף לגבי ד' - כל שדה חשמלי נוצר ממטען, העניין הוא פשוט שהוא לא יהיה משמר אם המטען יהיה בתנועה. בקיצור, הייתי מנחש שאתה מתמטיקאי לפי הדרך שבה אתה "תוקף" את השאלות האלו - שים לב שזה מקרה קלאסי שבו צורת מחשבה של מתמטיקאי תכשיל אותך בפיזיקה...