גבול של סדרה

[vadik1212]

גבול של סדרה

שאלה עקרונית:
נניח יש לי שתי סדרות an ו bn וידוע כי :
lim bn/=0
n>>>>>אינסוף. כלומר B מתכנסת והגבול שלה שונה מאינסוף. נכפיל איברים מתאימים של שתי הסדרות ונקבל את הסדרה :an*bn, ונתון שהיא מתכנסת. עכשיו אני רוצה להוכיח ש AN מתכנסת גם כן. השאלה היא האם אני יכול להגיד דבר כזה:an=an*bn/bn כי הביטי מוגדר החל מN מסוים, ואז בעצם להשתמש בכלל המנה? לדעתי כן כי גם אם הסדרות לא שוות (AN ו AN*BN/BN) עבור Nים גדולים הן כן אז ניתן להגדיר את האיברים הראשונים בסדרה השנייה כרצונינו ולשמור על הגבול לא? זה תקין?

תודה.

 

[אורי769]

כן

אם הבנתי נכון הכוונה היא שהגבול של bn הוא סופי ושונה מאפס?
אם כך אז הטיעון שלך הוא נכון. הטענה שאתה צריך להוכיח היא שהחל מ-N מסויים bn != 0 ולכן הביטוי anbn/bn מוגדר ומן הסתם שווה ל-an. כמו כן, הערה על טרמינולוגיה - זה לא כלל המנה (שזה כלל לקביעות התכנסות של סדרות וטורים) אלא אריתמטיקה של גבולות.

 

[vadik1212]

תודה רבה לך!