גבול מאתגר מאוד

[Nevoiz]

גבול מאתגר מאוד

אחרי ששאלתי עשרות אנשים ואף אחד לא הצליח...
האם מישהו יודע לתת כיוון?

 

[עריסטו]

אפשר בדרך דומה להוכחה להתבדרות הטור ההרמוני

אפשר לכתוב את המכפלה כך
(1/2)*
(3/4)*
(5/6)(7/8)*
(9/10)...(15/16)*
(16/17)...(31/32)*...<
(1/2)(3/4)(7/8)^2*(15/16)^4*(31/32)^8*...
הביטויים
(7/8)^2
(15/16)^4
(31/32)^8
שואפים ל - exp(-1/4), מה ניתן להסיק מפה על ערך המכפלה האינסופית?

 

[Nevoiz]

הבנתי את הרעיון אבל...

מה זה שואפים ל - exp(-1/4), זה מספר? בדקתי מספרים וזה שואף אל 0.77777
מה זה אומר שהם שואפים לשם? המכפלה שואפת ל-0.... אבל איך אני מוכיח שהמכפלה הזאת שואפת ל0.7777 ומכפלתם שואפת ל-0?

 

[אורי769]

הסבר

(exp(x זה שם נרדף ל-e^x.

הנה תרגום של ההצעה של עריסטו למשהו יותר פורמלי: הסדרה שלך מונוטונית יורדת וחסומה. לכן מתכנסת. השאלה היא כמובן לאיזה גבול. מכאן שכל תת סדרה שלה מתכנסת ולאותו הגבול.
נסתכל על תת הסדרה בעלת האינדקסים n_k = 2^k.
נשתתש בכלל המנה. כלומר נסתכל על מנת איברים עוקבים בתת-הסדרה ונבחן את הגבול של הדבר הזה. אם הוא קטן מ-1 אז הסדרה המקורית שואפת ל-0.
כפי שעריסטו הסביר, סדרת המנות חסומה מלמעלה ע"י הסדרה
qq 1/2, 3/4, (7/8)^2, (15/16)^4, ... qq
כאן אפשר להפעיל את הגבול המוכר של e ולהראות שגבול סדרת המנות שואף למשהו שהוא קטן מ-1 (במקרה זה e^-1/4).

 

[Nevoiz]

תודה

 

[אורי769]

עוד אפשרות

נשים לב ש
e^x >= 1+x
לכן לכל i מתקיים ש-
(zz 1 - 1/2i =< e^(-1/2i
לכן אפשר לחסום את הגבול מלמעלה ע"י
(e^-(1/2+1/4+1/6+...+1/2n
וכאן יש להשתמש בטור ההרמוני, כמו בהצעה של עריסטו.

 

[Nevoiz]

הבנתי, גאוני!