גבולות

[MayaTMR]

גבולות

כמה גבולות שלא הצלחתי (פונקציות בשני משתנים)
תוכלו לעזור לי?

תודה רבה!

 

[טלמון סילבר]

הראשון

דבר ראשון, הכפילי את המונה ואת המכנה בביטוי המשלים:
sqrt(x²+y²+25) + 5

אח"כ עברי לקואורדינטות קוטביות.

 

[MayaTMR]

ככה?

 

[טלמון סילבר]

נראה לי בסדר גמור

הסתדרת בלי קואורדינטות קוטביות.

 

[טלמון סילבר]

בשני מבצבץ המספר e. רואה אותו?

בשלישי אין גבול: קחי פעם אחת x כבר שווה 0, ופעם שנייה y כבר שווה 0 (כלומר, שאיפה לנקודה (0,0) לאורך שני הצירים בנפרד).

ברביעי הגבול מחושב ישירות, לפי הסדר, בלי בעיות.

 

[MayaTMR]

התייחסות

לגבי הגבול השני - בינתיים אני רק מסתבכת איתו. חשבתי על הצבה באופן שאגיע לגבול המוכר של (1 מינוס x) בחזקת 1 חלקי x ששואף ל-e באפס, אבל ממש לא הולך לי... תוכל לעזור לי כאן?

 

[טלמון סילבר]

הגבול המוכר הוא

(1 + u) ^ (1/u) ---> e
כאשר u שואף ל-0.
יש גבול מוכר נוסף. כאשר u שואף ל-0, אזי
sin(x) / x ---> 1

נחבר את שני הגבולות הללו ונקבל (זה לא טריק מקורי, אלא דרך מקובלת למציאת גבולות):
(1 + sin(u)) ^ (1/u) = [(1 + sin(u)) ^ (1 / sin(u))] ^ [sin(u) / u] ---> e^1 = e

 

[MayaTMR]

הרעיון שלי:

מה אתה אומר?

 

[טלמון סילבר]

תשובה

א. אני מתנצל, אבל זה יותר מדיי ארוך בשבילי, אין לי כוח לעבור על הכל.
ב. התשובה הסופית היא אכן e².
ג. תוצאה זו די מובנת מאליה, כלומר, מתקבלת מיידית, בשיטה שהצעתי לך.
ד. תרגיל זה הוא למעשה תרגיל למציאת גבול של פונקציה עם משתנה אחד בלבד, ואין בו צורך להשתמש בכלים "כבדים" לחקירת פונקציה עם שני משתנים.

 

[MayaTMR]

לגבי הגבול הרביעי -

זה מוזר לי.
אם אני משתמשת בגבול של פונקציית הרכבה + רציפות e^x אז על פניו יוצא לי שהגבול 1. מצד שני wolfram כותב שהגבול לא קיים! איך אתה מסביר את זה?

 

[טלמון סילבר]

איננני אחראי על וולפרם.

אם אינני טועה, כאשר (x,y) שואף ל-(0,0), אזי |x|+|y| שואף ל-"0+", כלומר, שואף ל-0 אך נשאר חיובי כל עוד לא מגיעים לנקודה (0,0) עצמה;
ואז e בחזקת הביטוי הזה שואף ל-1;
ו-1 חלקי הביטוי הזה שואף לאינסוף;
ו-e בחזקת {1 חלקי הביטוי} שואף גם הוא לאינסוף;
ו-1 חלקי {e בחזקת {...}} שואף ל-0;
והגבול כולו הוא 0+1=1.
אולי רשמת משהו לא נכון בוולפרם? אולי שכחת ערך מוחלט באיזשהו מקום?
אגב, וולפרם גם טועה לפעמים.

 

[טלמון סילבר]

זו אכן טעות של וולפרם

עָזרו לי לבדוק:
http://www.wolframalpha.com/input/?i=Limt[1/Exp[1/(Abs[x]+Abs[y])]+Exp[Abs[x]+Abs[y]],{x->0,y->0}]
אני מזמין את משתתפי הפורום לבדוק ולחוות דעה.

 

[טלמון סילבר]

אני מצטער, אצלי הקישור השתבש

אנסה שוב
http://www.wolframalpha.com/input/?i=Limt[1/Exp[1/(Abs[x]+Abs[y])]+Exp[Abs[x]+Abs[y]],{x->0,y->0}]

 

[טלמון סילבר]

 

[טלמון סילבר]

ניסיון נוסף

ר' קובץ מצורף.