גאומטריה...

[rachely19]

גאומטריה...

1. ריבוע חוסם מעגל וחסום במעגל, ידוע ששטח המעגל הגדול (החוסם) הוא 20 סמ"ר. מה השטח של המעגל החסום? א.10 ס"מ ב.8 פאי ג. 10 פאי ד. אי אפשר לדעת. <מצטערת שאני כותבת פאי אינלי מושג איזה מקש עושה את זה...> 2. כמה כדורים שרדיוסם 1 ס"מ אפשר למלא בגילי שרדיוס 3 ס"מ וגובהו 5 ס"מ? תודה לכל מי שמתייחס..

 

[4667]

תשובות..

השיטה לראשון שאני מכיר היא לפי אנקורי, והיא מבוססת על יחס קבוע בין צורות שחסומות. אני מקווה שההסבר יהיה ברור.... אם מישהו מוצא דרך לפשט את זה , בבקשה דרך פיתרון מלאה לראשון: יש יחסים מוגדרים בין ריבוע ומעגל החוסמים זה את זה או להיפך. היחס בין שטחי מעגל החוסם ריבוע לריבוע שבתוכו הוא פאיי:4. ויחס זה ממשיך וקטן כל פעם בחצי כאשר נכנסים פנימה לתוך הצורות. כלומר אם שטח המעגל החיצוני הוא 4, שטח הריבוע שבתוכו יהיה פאיי, שטח המעגל החסום בריבוע יהיה 4/2 ושטח הריבוע שיהיה בתוך מעגל זה יהיה 2/פאי ווכך הלאה. לפי הציור זה יותר ברור - כל אות\סיפרה מייצגת את ייחידת השטח של הצורה שלידה. כלומר אפשר ליצור מין "ריבוע יחסים" כמו בציור. כלומר, שהיחס בין 4 לפאי (כאשר ידוע ש4 יחידות יחס הן 20 סמ"ר) הוא כמו היחס בין 20 סמ"ר ל-X. מכאן יוצרים משוואה של כפל באלכסון וחילוק בגורם הנותן (כמו בזרטוט) ויוצא ש-X הוא 5 פאיי. בעצם זהו הערך המספרי של פאיי (שהרי בעצם פאיי מייצג לנו כאן יחידות יחס). אנו נשאלנו על המעגל הפנימי ולכן נעשה שוב יחס דומה הפעם בין הריבוע הגדול למעגל הקטן (עליו נשאלנו). נמצא ששטח המעגל הפנימי הוא 10 סמ"ר. דרך קצרה יותר: עדיין לעבוד עם זוגות יחסים - רק אפשר לראות שבמקרה הראשון, היחס בין 4 ל-ל הוא כמו בין 20 סמ"ר למשהו נוסף. אם נסתכל על ריבוע היחסים הזה בציור נצפה שהיחס שבין 4 ל-20 ישמר גם בין פאיי למשהו החסר. לכן אם בין 4 ל-20 כפלנו ב-5, נכפול גם את פאיי ב-5 כדי להגיע למשהו הזה - מאכן שהמשהו שווה 5פאי. המשהו הזה הוא בעצם שטח הריבוע! אותו דבר בריבוע היחסים שבין הריבוע למעגל הפנימי. אם נסתכל הריבוע היחסים השני שעשינו בציור נראה שהיחס בין פאיי ל-2 צריך להיות זהה לייחס בין 5פאי (מה שמצאנו בהתחלה) למשהו החדש. בין פאי ל-5פאי כפלנו ב-5 ולכן את 2 גם נכפול ב-5, ונגיע כך ל-10. מכאן ש10 הוא שטח המעגל הפנימי. שאלה שנייה: אם רדיוס כדור קטן הוא 1, הקוטר הוא 2. אם רדיוס הגליל הוא 3, הקוטר הוא 6. זה אומר שתוכלי להכניס על הקוטר 3של הגליל כדורים. וגם בקוטר המאונך של הגליל יכנסו 3 כדורים כאשר (הכדור האמצעי משותף כמו בציור. אם גובה הגליל 5 סמ"ר, וגובה הכדור הקטן (שזה בעצם קוטר גם כן בכדור הקטן) הוא 2, 2 כדורים מלאים יכנסו בגובה ועוד חצי כדור. אנחנו לא סופרים חצאים כאשר מבקשים צורות מלאות ולכן יכנסו 2 כדורים. לכן את 5 הכדורים שספרנו קודם ברוחב נכפיל ב-2 שנכנסים בגובה ונקבל 10 כדורים.

 

[SHARON 103]

שאלה לגבי הגליל והכדורים

היי, רציתי לשאול אותך לגבי איך שפתרת את התרגיל....... למה אי אפשר ללהכניס עוד כדורים ברווחים שנותרו לאחר שהכנסת 5 כדורים לאורך ולרוחב הבסיס של הגליל? ובכלל, לפני שכתבת את הדרך שלך אני ניסיתי לגשת אבל טעיתי ....הדרך שמומלצת לגשת לשאלות כאלה היא לבדוק כמה כדורים מכיל הבסיס ואז לבדוק את הגובה של הצורה הגדולה? תודה

 

[4667]

אממ

זה נורא תלוי בנוסח, אם מבקשים למלא בכדורים שלמים, אז אי אפשר לשים ברווח שנשאר עוד כדור, כי קוטר כל כדור 2 והרווח שנשאר אחרי ששמים 2 כדורים אחד על השני הוא 1 ס"מ, כלומר נכניס רק חצי כדור. ומבקשים שלמים ולכן לא נכניס אותו. זו לא הדרך המומלצת, זאת פשוט הדרך שאני פתרתי את זה. לי אישית זה הכי קל. וגם נראה לי הכי הגיוני. הרי גליל זו צורה סימטרית, מה שנכנס לרוחב יכנס לאורך (שהרי הם שווים כי הם קטרים), פשוט נותר לבדוק מה גובה כל כדור קטן ולראות כמה כאלה יכנסו בשלמותם בגובה הגליל.

 

[rachely19]

הכי לא ברור בארץ...

למישהו יש דרך אחרת לפתרון של השאלה הראשונה ובקשר לגליל למה אני לא יכולה לשים עוד כדורים בבסיסים?

 

[4667]

לי זה ברור ../images/Emo3.gif

 

[רק רצה מסטיק בומבה]

פתרון קצר ל1:

 

[rachely19]

אדיר...

אדיר... תודה ממש!!!

 

[a1b2c3333]

יש פתרון קצר יותר ל-1

ריבוע שחסום במעגל שחסום בריבוע-היחס הקווי בין 2 הריבועים הוא 1:שורש 2. היחס השטחי הוא: 1:2. אז אם שטח הגדול הוא 20,מכאן ששטח הקטן הוא 10.(יחס של 1:2) לתזכורת: *ריבוע שחסום במעגל שחסום בריבוע, וגם מעגל שחסום בריבוע שחסום במעגל- היחס הקווי בין 2 הצורות הדומות הוא: 1:שורש 2.והיחס השטחי הוא: 1:2.

 

[רק רצה מסטיק בומבה]

../images/Emo45.gifצודק לגמרי

 

[מתן דנינו]

2 קשה קצת

אבל נראה לי שזה 15, כי אפשר להכניס ברווחים, אבל אין לי עדיין הוכחה לזה..

 

[SHARON 103]

גם אני חשבתי ככה... אבל התשובה

הראשונה שאומרת 10 כנראה יותר הגיונית.....

 

[מתן דנינו]

תיקון

התכוונתי 14, כי אי אפשר להכניס 5 בשכבה האמצעית אלא רק 4 (מעל ארבעת הרווחים בשורה הראשונה..)

 

[רק רצה מסטיק בומבה]

לגבי 2..

יש מצב שהתשובה בכלל 22?