בעיית הרצף

[karpada1]

בעיית הרצף

אני מתנצל מראש אם הנושא כבר דוסקס לעייפה-החיפוש שולח אותי אל האופטימייזר. האם יוכל מי מחברי הפורום הנכבדים לבאר/להסביר/להרחיב בנוגע לבעיית הרצף? לינקים יתקבלו בברכה. תודה.

 

[galbin]

השערת הרצף...

היא הטענה הבאה: לא קיימות עוצמות אינסופיות הגדולות מאלף אפס וקטנות מ-c (עוצמת הרצף, העוצמה של R). או בניסוח שקול, כל קבוצה אינסופית של ממשיים היא בת מניה או שוות-עוצמה ל-R. קנטור ניסח ב-1877 את השערת הרצף, אך לא הצליח להוכיח או להפריך אותה. השאלה נשארה פתוחה, עד שגדל וכוהן הוכיחו (כל אחד כיוון אחד) שכלל לא ניתן להוכיח או להפריך אותה (בעזרת האקסיומות הסטנדרטיות של תורת הקבוצות, ZFC). סקירה דיי מקיפה אפשר למצוא כאן: http://www.ii.com/math/ch. שים לב במיוחד גם ל:Appendix 2: Confusion About CH in Popular Literature. יש הרבה בלבול בקשר להשערת הרצף, בספרים ובמיוחד באינטרנט - אז אם אתה מחפש מידע על השערת הרצף באינטרנט כדאי להבין היטב את הפרק הזה.

 

[karpada1]

תודה רבה

ברשותך אמשיך להקשות: R (אלף 1 אם הבנתי כהלכה) היא קבוצה שאינה בת מניה. כיצד אם כן קבוצת ממשיים אינסופית ,אשר עוצמתה שווה לR (שכאמור אינה בת מניה) היא כן בת מניה?

 

[נועה לביא]

היא לא.

אם עוצמה של קבוצה מסויימת שווה לR, אז היא לא בת מניה...

 

[galbin]

לא הבנת כהלכה

הטענה שעוצמתה של R היא אלף1 זו בדיוק השערת הרצף. זאת אחת מהטעויות הנפוצות שדיברתי עליהן (שמופיעה גם במאמר "אינסוף ומתימטיקה" כאן בפורום). אלף1 היא פשוט העוצמה הראשונה אחרי אלף אפס. את העוצמה של R נהוג לסמן ב-אלף (ללא אינדקס) או 2 בחזקת אלף0. לא ידוע אם זו עוצמתה של R. אין קבוצת ממשיים אינסופית אשר עוצמתה שווה ל-R והיא בת מניה. אולי הסברתי משהו באופן לא ברור... אם תסביר מה גרם לך לחשוב שיש קבוצה כזאת אולי אוכל להבהיר את העניין.

 

[galbin]

הבהרה...

המשפט "לא ידוע אם זו עוצמתה של R" מתייחס לאלף1, לא ל-אלף.

 

[yuvalmadar]

אפרופו,

האם קיימת השערה דומה בין שאר העוצמות? כלומר, האם ייתכן שקיימות עוד עוצמות בין עוצמת R לעוצמת P(R)?

 

[galbin]

כן

קוראים לה (GCH (Generalized Continuum Hypothesis. הניסוח המדויק הוא: לכל אורדינל a, מתקיים aleph_{a+1}=2^aleph_a. או במילים אחרות, aleph_a=bet_a. גם הטענה הזו בלתי-תלויה ב-ZFC.

 

[1ca1]

השערת הרצף המוכללת

אומרת ש

2^אi=אi+1​

לכל i>=0 , מקרה פרטי שלה הוא המקרה עם R, ד"א נהוג לרוב המחקר הרגיל במתמטיקה, שלא עוסק בקבוצות ואקסיומות לקחת את העוצמה של R בתור אלף = אלף 1 (למרות שכפי שגדל וכהן הראו, הטענה אי-כריעה בZFC, אז אין בעיה גם לקחת אלף שונה מאלף אחד)

 

[galbin]

לא יודע איפה זה נהוג...

אלף הוא סימון לעצמת הרצף. אלף אחד הוא לא. הוא הקרדינל הראשון שבא אחרי אלף אפס. יש לך דוגמה למקום שבו נהוג להשתמש בסימון השגוי הזה (בלי הצהרה ספציפית שמניחים את CH)?

 

[1ca1]

ברור שאתה צודק

אבל מקובל, כמובן בתחומים קרובים כמו תורת הקבוצות ולוגיקה, יש צורך לציין את זה... וד"א נתקלים בלא מעטים ספרים, בעיקר בתחומים משניים (כמובן קשה לי להאמין שמישהו שמחבר ספר בנושא תורת הקבוצות יטעה בכזה דבר), שעושים את הטעות הזאת... (לא עולה לי ספציפית דוגמא כעת...)

 

[galbin]

צודק...

זאת בהחלט טעות שאפשר למצוא בהרבה ספרים ומאמרים (אפילו אצלנו בפורום ). כאן יש כמה דוגמאות מזעזעות במיוחד: http://ii.best.vwh.net/math/ch/#confusion לי לא יצא לראות שמניחים את השערת הרצף כאקסיומה בלי לציין את זה, אבל אולי אני סתם לא מכיר מספיק...

 

[1ca1]

טוב

שמה הביאו דוגמא של ג'ורג' גמוב, הוא פיזיקאי, אז נסלח לו (חפש מאמר של אלפר,בתא,גמוב, מאוד מצחיק, למרות שגמוב בכלל לא כתב את זה, הראשי תיבות מצחיקים)

 

[yuvalmadar]

תודה לשניכם! ../images/Emo13.gif

 

[karpada1]

הבנתי,תודה.