בעיות קשות

[hanibaal smith]

בעיות קשות

יש לי שתי בעיות קשות שני לא יכול לפתור 1.נתון ABCD מרובע קמור עם היקף p.הוכח 0.5p<AC+BD<p 2.הנקודות D,E נמצאות על צלע AB במשולש ABC והן מקיימות AD*AE/(DB*EB)=(AC/CB)^2

 

[yontanbn]

פתרון חלק מ1

נפתור את

AC+BD < p​

בעזרת שימוש באי-שוויון המשולש 4 פעמים. ארשום ארבע משוואות שנובעות כל אחת מהן מאי-שוויון המשולש (כזכור אי שוויון המשולש אומר לנו שבמשולש לא מנוון (המממ... מעניין אם צריך לציין את זה בהנחות השאלה, שהמרובע הוא אכן מרובע... ולא איזה משולש כאשר יש קודקוד באמצע צלע... בכל אופן אני הנחתי את זה) מתקיים שצלע אחת קטנה מסכום שתי האחרות):

AC < AD + CD AC < AB + BC BD < AD + AB BD < BC + CD​

כעת, נחבר את ארבע המשוואות ונקבל:

2AC + 2BD < 2AB + 2BC + 2CD + 2AD​

ואם נחלק בשתיים, נקבל את המבוקש.

 

[hanibaal smith]

גם אני הוכחתי שזה קטן מp