בעיה קטנה בהסתברות...

[Fingertip]

בעיה קטנה בהסתברות...

יש חמישה שחקנים. בוחרים 5 מספרים שונים באקראי ונותנים אחד לכל שחקן. כעת, השחקן הראשון משווה את המספר שלו עם השחקן השני, ומי שיש לו מספר יותר גדול, מנצח. המנצח משווה את המספר שלו עם המספר של שחקן 3, ושוב מי שיש לו יותר גדול מנצח, וכך הלאה. אם נסמן ב-X את מספר הפעמים ששחקן 1 ניצח, אז מהי ההסתברות ש-{P{X=i עבור i=0,1,2,3,4. הבעיה שלי היא כזו: נשים לב שההסתברות ששחקן 1 ינצח שחקן מסויים במשחק ישיר היא 0.5: אם לא כך, אז נניח שההסתברות קטנה יותר, ואז ההסתברות שלשחקן המסויים יהיה מספר שיותר גדול מהמספר של שחקן 1 יותר גבוהה מכך שהמספר שלו יותר קטן, וזה די סותר את העובדה שבחרנו מספרים בצורה אקראית. אותו הדבר אם ההסתברות עולה על 0.5. בצורה הזו, מקבלים שהמשתנה X הוא כמעט משתנה גיאומטרי (עד כדי הזזת האינדקס i ב-1...) אבל אז אם סוכמים את ההסתברויות מקבלים שהסכום אינו 1... הממ... איזה צחוקים. עד שגמרתי לכתוב את ההודעה, עליתי על הטעות, אז בואו נראה אם אתם תצליחו

(או, ליתר דיוק, מתי תצליחו...) אהד.

 

[freedom rider]

אני לא ממש הבנתי את הרעיון

בטיעון השגוי שלך, אבל כפי שהבנתי את מהלך המשחקים, נערכים בסך הכל 4 משחקים - נכון? ויש סה"כ 120 נקודות במרחב המדגם, ולמשתנה המקרי שלך יש רק 5 ערכים אפשריים - אז ברור שזה לא ממש גאומטרי. עם קצת קומבינטוריקה אפשר לחשב את ההסתברויות בלי בעיה. באפן מיידי ניתן לראות כי P(X=4)=0.2 (שחקן אחד קיבל את 5 ויש 24 אפשרויות לחלק את שאר המספרים בין שאר השחקנים). כמו כן X=3 אם ורק אם שחקן 1 קיבל את מספר 4 ושחקן 5 את מספר 5, ולכך יש 6 נקודות אפשריות במרחב המדגם, כלומר P(X=3)=6/120=0.05. X=2 אם שחקן 1 קיבל 3 ושחקנים 2 ו-3 קיבלו 1 ו-2 (4 אפשרויות) או אם שחקן 1 קיבל 4 ושחקן 4 קיבל 5 (עוד 6 אפשרויות) ולכן P(X=2)=10/120. X=1 אם 1 קיבל 2 ו-2 קיבל 1 (6 אפשרויות), או אם 1 קיבל 3, 2 קיבל 1 או 2, ו-3 קיבל 4 או 5 (8 אפשרויות), או אם 1 קיבל 4, 2 קיבל 1, 2 או 3, ו-3 קיבל 5 ( 6 אפשרויות) ולכן P(x=1)=20/120=1/6. ע"י המשלים נקבל כי P(X=0)=0.5!

 

[Fingertip]

ואיך הוכחת שההסתברויות לא השתנו

כשהחלפת את מרחב המדגם? במרחב המדגם של הניסוי יש אינסוף נקודות, שכן בוחרים מספרים אקראיים כלשהם... משהו נראה לי פה מוזר בכל מקרה (בשני הטיעונים). כנראה שמחר בבוקר זה יראה יותר טוב... אהד.

 

[Fingertip]

עדיין נראה לי בסדר (שני הטיעונים)

יכול להיות שיש קשר לפרדוקס של ברטרנד? (גם שם היו בעיות עם ההגדרה של "מיתר אקראי"...) או שאולי אני סתם טיפש... אהד.

 

[Fingertip]

לאחר שיחה עם מרכזת הקורס...

הטיעון שלי לא נכון משום שמשתמשים שם בהנחה שיש התפלגות אחידה על כל הישר הממשי, וזו טענה לא נכונה. בכל מקרה, הבנתי את השאלה לא נכון, כי חשבתי שבוחרים חמישה מספרים באקראי ואז מחלקים אותם לאנשים, ולא מחלקים חמישה מספרים נתונים... נו טוב, לא חשוב... אהד.

 

[freedom rider]

או קיי, אז אני לא הבנתי את הניסוח

של השאלה. בוא תבהיר לי אם הבנתי עכשיו: בוחרים חמישה מספרים אקראיים ממשיים כלשהם, כל אדם מקבל מספר ומספר סידורי. אח"כ עורכים התמודדויות: הראשון מתמודד עם השני. המנצח מתמודד עם השלישי. המנצח מתמודד עם הרביעי. המנצח מתמודד עם החמישי. ועכשיו, המנצח יתמודד עם מי? מי שמפסיד נכנס לתור להתמודדות הבאה?

 

[Fingertip]

לא, לא לא...

אתה הבנת נכון בהתחלה, זה אני שהבין לא נכון. יש חמישה מספרים שונים, ואותם מחלקים אקראית. אני חשבתי שבוחרים אקראית ומחלקים אקראית חמישה מספרים ממשיים. אבל לא ניתן לעשות כזה דבר, שכן אז ההתפלגות צריכה להיות אחידה, אבל אין התפלגות רציפה אחידה לאורך הישר הממשי... לפחות, לא אחת פשוטה... אני זוכר שיש איזו פונקציה של הנדסאים שמוגדרת כך שהאינטגרל שלה לאורך הישר הממשי הוא 1, אבל כל נקודה היא 0, או משהו כזה... אהד.

 

[איגור קרסיק]

אהד,

האם אתה עושה את הקורס "תורת ההסתברות"?

 

[Fingertip]

אכן כן.

האם חשבת שאסתפק ב"מבוא לסטטיסטיקה לתלמידי מדעי המחשב"? בכל מקרה, זה עדיין קורס מבוא. מסתבר שבשביל לדעת הסתברות על בוריה, צריך גם לדעת את תורת המידה... אהד.

 

[איגור קרסיק]

אגב,

מתי יהיה לך תואר ראשון?

 

[Fingertip]

אם הכל ילך כשורה...

שנה הבאה בסביבות ינואר אמור להיגמר המבחן האחרון. הטקס הרישמי יהיה בל"ג בעומר, אבל אז אני כבר אהיה בצבא, אז אין לי מושג אם אני אצליח להגיע...

אהד.

 

[Fingertip]

רגע...

מה אתה עושה בבית? אתה לא בא למפגש במרוכבות? אהד.

 

[איגור קרסיק]

לא - אין צורך.

 

[Fingertip]

אין צורך?

 

[איגור קרסיק]

בהחלט

אין לי צורך בתרגול. אני לא הולך לאף מפגש באף קורס בסמסטר זה וגם בהבא וכך הלאה.

 

[its moi]

לא מבין מה הבעיה

ואם המס´ המחולקים רציפים ? אז ? עדיין אפשר לייחס כל מס´ ל"מיקום" שלו מבחינת גודלו היחסי. תן למחלק לדאוג לאיך בוחרים מס´ אקראית.

 

[freedom rider]

ולמעשה

אם בוחרים לכל משתתף מספר ע"י פונקציית התפלגות כלשהי על הישר (אותה פונקציה לכולם ובאופן בלתי תלוי) אז אנחנו אכן מקבלים דירוג של 5 השחקנים, ומשיקולי סימטריה כל 120 הדירוגים האפשריים הם שווי הסתברות.

 

[Fingertip]

אין שום שיקולי סימטריה...

זה פשוט בלתי אפשרי לבחור חמישה מספרים ממשיים כלשהם כך שלכל מספר ממשי יש אותה הסתברות להתקבל. ואם אתם רוצים פורמלית: נניח שניתן לבחור מספר ממשי כלשהו בהסתברות אחידה. לכן, פונקציית ההתפלגות קבועה לכל אורך הישר הממשי, כלומר האינטגרל של const כלשהו לאורך כל הישר הממשי הוא 1, וזה לא יכול להיות (שכן אינטגרל כזה הוא 0 או אינסוף). אם אתם בוחרים חמישה מספרים ממשיים כלשהם, אז תמיד יש לחלק יותר הסתברות להתקבל מאשר לאחרים. אהד.

 

[freedom rider]

זה לא משנה מה ההתפלגות

הנה הסבר ל-3 מספרים (לשם הפשטות): תהי F פונקציית התפלגות על הישר עם צפיפות f כך ש-f(x)>0 לכל x. יהיו X, Y, ו-Z שלושה משתנים מקריים בלתי תלויים מהתפלגות F. אזי (P(X<Y<Z)=P(Y<X<Z - הוכחה בקובץ המצורף (והשוויון בין השורה השניה לשלישית נובע מטעמי סימטריה) ובאופן דומה ניתן להראות את כל השוויונות הדומים ולכן P(X<Y<Z)=1/6 .