בא לי פלצת

[pallidfool]

בא לי פלצת

וברצינות: הפרדוקס של אכילס והצב די עלוב. מי מתנדב לכתוב אותו בצורה מדוייקת (ולהכשל)?

 

[bigbang]

נכון

אני אישית לא מצאתי את החלק הפרדוקסלי בזה (חוץ המפחד של היוונים מהמילה אינסוף).

 

[טל ר]

אני אנסה

הצב עומד 10 מטרים לפני אכילס. אכילס מנסה לתפוס את הצב, על ידי ביצוע צעד אחד כל פעם - אכילס צועד למקום בו עמד הצב. בזמן שאכילס מתקדם בצעד האחד שלו, זז הצב לפנים 1/10 מהמרחק שאכילס עבר, כך שכשאכילס משלים את הצעד, הוא מגלה שהצב מצוי מטר אחד ממנו. לפיכך, אכילס מתקדם צעד נוסף של מטר אחד. הצב בזמן זה מתקדם 1/10 מ'. אכילס מתקדם עוד 1/10 מ' - הצב מתקדם 1/100 מ'. וכו'. האם יתפוס אכילס את הצב? השאלה, כמובן, היא כמה זמן לוקח לאכילס לעבור צעד. אם כל צעד לוקח פרק זמן קבוע, לא יתפוס אכילס את הצב לעולם (למרות שהמרחק ביניהם ילך ויקטן). אם כל צעד לוקח לאכילס זמן פרופורציוני לאורכו (וזוהי כנראה כוונת המשורר), אכילס עדיין יהיה זקוק למספר אינסופי של צעדים. אלא מה? ניתן לראות שהמרחק אותו יעבור אכילס יתכנס אקספוננציאלית, ואם אכילס מתקדם בקצב קבוע, גם פרק הזמן יתכנס אקספוננציאלית, כך שלאחר פרק זמן חסום יפגשו אכילס והצב לאחר 11.1111111... מ'. מאחר ומושגי התכנסות סדרות היה זר ליוונים הקדמונים, פרדוקס זה מתח את מושגי המתמטיקה של תקופתם. הזמן כפונקציה של הצעדים והמרחק כפונקציה של הצעדים התכנסו שניהם, אולם העובדה שיש צורך במספר בר-מניה של צעדים על מנת להגיע ליעד הקשה עליהם. תיקונים? טל.

 

[pallidfool]

אתה מסכים עם

העובדה שאין פרדוקס ממשי - אבל אני טוען שאין שום צורך להבין התכנסות וכו' כדי להבין שאין ממש בפרדוקס. אף אחד מעולם לא הראה לי טיעון מדוייק להוכחה. תמיד עוצרים באמרה כמו: "וכולי וכולי, ולכן הוא לא יכול להגיע.". נטל ההוכחה הוא על המוכיח, ולכן על מי שמציג את הפרדוקס להסביר איפה הבלתי אפשרי בנ"ל - דבר שלעולם לא עושים.

 

[טל ר]

והרי הפרדוקס

לאחר כמה צעדים יפגשו אכילס והצב?

 

[pallidfool]

זה תלוי בגודל הצעד

של אכילס לפי המשעות הסטנדרטית של השאלה שלך, שאליה בטח לא התכוונת. ההגדרה של צעד היא שלך, ואם יש בה סתירה זו בעיה שלך. גם אם כן ניקח את ההגדרה הזו, אין מניעה להגיד שהדבר אינו מוגדר כיאות (וזו ההגדרה שלך שפישלה).

 

[Rus Almighty]

הגדרה חלקית של הצעד נתונה בפרדוקס

מרחק הצעד הוא המרחק מן מקום העמידה של אכילס למקום שבו עמד הצב בתחילת הצעד. וכך נוצר ה"פרדוקס" כי אכילס לא יוכל לתפוס את הצב במספר צעדים סופי.