רדיאן הוא גדלה של זוית מרכזית אשר קרניה תוחמות קשת מעגל
שארכה כארך רדיוס המעגל.
אתה יודע למדוד ארך קשת זו וקראת לה
רדיוסה.
לאור זאת, הבה נתבונן בשני מעגלים שונים כלשהם במישור להם נקודת מרכז משותפת ובזוית מרכזית כלשהי אשר קרניה תוחמות "
רדיוסה" במעגל הקטן מבין השנים.
האם קרני אותה זוית זו עצמה תוחמות "
רדיוסה" גם במעגל הגדול יותר?
כן או לא?
ארך קשת מעגל עליה נשענת זוית מרכזית θ הוא בהגדרה r*θ.
זו הגדרה.
לכן ארך הקשתות של מעגלים שונים בעלי מרכז משותף, עליהן נשענת זוית מרכזית משותפת, θ, הוא r*θ, לכל θ ולכל r (קרני הזוית המרכזית המשותפת חותכות את המעגלים השונים) ולכן היחס בין ההקפים השונים הוא כיחס בין הרדיוסים השונים.
כאמור - זה ענין של הגדרה.
הנסיונות של מתמטיקאים קדומים לחשב את הערך של היחס עצמו - נעשו תחילה באמצעות מצולעים מרובי צלעות, חוסמים וחסומים, אולם היה זה רק הנסיון למצא ערך נומרי.
הנסיונות הללו למצא ערך נומרי - אינם צריכים להניח לג'יברישך הנואל, עובר בטל, ידידי, להסיח הדעת מכך שיחס ההקפים כיחס הרדיוסים, זאת מכיון שמלֹא הזוית הנפרשׂת מן המרכז היא משותפת לכל המעגלים משותפי המרכז.
אשר לתוצאות מדידות:
תוצאות מדידות הן בהכרח מספרים רציונליים, פשוט מפני שלמכשירי מדידה יש רמת דיוק מוצהרת מסוימת, ולרגיסטרים יש רוחב מסוים.
לא נתן לרשום מספר אירציונלי, אלא בסִמול ספציפי שיוחד לו...