אקסיומת הבחירה

[raviosa]

אקסיומת הבחירה

לא הצלחתי להבין מה אקסיומת הבחירה אומרת, ולמה היא עוזרת לי בהקשר של הלמה של צורן ומשפט הסדר הטוב?

 

[אורי769]

שאלה קשה

אקסיומת הבחירה אומרת שאם יש לך אוסף כלשהו של קבוצות {Vj} לא ריקות (האוסף עצמו יכול להכיל מספר סופי או אין סופי של קבוצות) אז אפשר לבחור נציג מכל קבוצה. באופן יותר פורמלי, אם נסמן את האוסף ב- {J={Vj אז קיימת פונקציה f: A -> UVj המקיימת ש-f(Vj) in Vj.

המוזר באקסיומה הזו, שהיא נשמעת ברורה מאליה. אם הקבוצות לא ריקות, הרי ברור שבכל קבוצה יש איבר. ואם בכל קבוצה יש איבר, מה הבעיה לבחור נציגים מכל הקבוצות? אז קודם כל זה באמת די ברור מאליו. אלא שבמתמטיקה שום דבר לא ברור מאליו. אם אי אפשר להוכיח את זה בעזרת האקסיומות האחרות אז זה מחייב אקסיומה משל עצמו. שנית, וזו אולי הנקודה העיקרית לגבי אקסיומת הבחירה, זה שלא תמיד אפשרי להצביע על אותם הנציגים, אפילו שהם קיימים. בא תסתכל על הדוגמא הבאה:

נניח J היא אוסף של תתי קבוצות לא ריקות של N (הטבעיים). האם אפשר להגדיר נציג לכל קבוצה כזו? התשובה היא: בודאי! הרי לכל תת-קבוצה של הטבעיים D יש איבר מינימלי. אז אפשר פשוט להגדיר (f(D) = min(D והנה הגדרנו פונקצית בחירה. האם השתמשנו באקסיומת הבחירה? לא! אקסיומת הבחירה אמנם אומרת שפונקציה כזו קיימת, אבל לא נדרשנו לה, כי בנינו אותה בעצמנו. כעת נניח J היא אוסף של תתי קבוצות לא ריקות של R (הממשיים). כאן, כבר אין לי דרך להצביע על נציג. לכן אין לי דרך באופן מפורש לנסח מי היא f. אקסיומת הבחירה מבטיחה לי ש-f כזו קיימת.
דוגמא דומה שאני אוהב מאד: נניח J זה אוסף אינסופי של זוגות נעליים. האם אפשר לבחור נעל אחת מכל זוג? כן, נבחר מכל זוג את נעל שמאל. הנה הגדרנו את הבחירה באופן מפורש. לא השתמשנו באקסיומת הבחירה. כעת נניח J זה אוסף אינסופי של זוגות גרביים. בגרביים אין ימין ושמאל. אין דרך להגדיר באופן מפורש איך לבחור גרב אחת מכל זוג. אקסיומת הבחירה אומרת שלמרות זאת, בחירה כזו קיימת.

הן הלמה של צורן והן משפט הסדר הטוב, הם מסקנות של אקסיומת הבחירה. במובן מסויים אלה טענות שקולות בכוחן לאקסיומת הבחירה - כלומר, ניתן להוכיח אותן מהאקסיומת הבחירה ולהיפך. החשיבות של הלמה של צורן זה שזה ניסוח שקל מאד לעבוד איתו ולהוכיח טענות בתחומים שונים של המתמטיקה. לדוגמא, אם למדת אלגברה לינארית, שם ראית שבמרחב וקטורי סוף מימדי יש תמיד בסיס. אבל קיימים גם מרחבים וקטוריים ממימד אינסופי. האם גם להם קיים בסיס. כלומר, האם בכל מרחב וקטורי יש תת-קבוצה שהיא בת"ל וגם פורשת. מסתבר שזה נכון גם במקרה האינסופי וההוכחה היא בעזרת הלמה של צורן.

 

[iMeTaVDR]

|כפירהבקודש|

האם זה באמת מובן מאליו שניתן לבצע פעולה כלשהי, לרבות בחירה, אינסוף פעמים?

 

[AnarchistPhilosopher]

אתה לא חייב לקבל את האקסיומה הזו.

יש עוד אקסיומות של בחירה אחרות, כמו DC:
http://en.wikipedia.org/wiki/Axiom_of_dependent_choice
&nbsp
זו אקסיומה חלשה יותר, וממנה אי אפשר לקבל תוצאות כמו קבוצות של ממשיים חסרות מידה (מה שמוביל לפרדוקס בנך טרסקי).
&nbsp

 

[iMeTaVDR]

זה מעניין מאוד, תודה!

 

[אורי769]

זו לא כפירה

זו פשוט שאלה מטה-מתמטית. מנקודת מבט של תורת הקבוצות הנאיבית, אקסיומת הבחירה היא ברורה מאליה. באופן נאיבי, היית חושב שמכפלה אינסופית של קבוצות לא ריקות אינה ריקה. מה גם, שבמקרים שבהם ניתן להצביע על נציג זה אכן נכון ללא אקסיומת הבחירה. כלומר במקרה של הנעליים יש נציג... אז טבעי לחשוב שגם במקרה של הגרביים יהיה.

 

[iMeTaVDR]

הדוגמאות שלך יפות

וזו באמת שאלה מטה-מתמטית. למען האמת, בשאלה הזו התכוונתי "להקניט" את מה שנראה לי, שבמקומות מסויימים במתמטיקה, לא רק בעניין אקסיומת הבחירה, מתייחסים לביצוע של אינסוף פעולות כמשהו שהוא ברור מאליו. כלומר שזו לא תכונה מיוחדת של אקסיומת הבחירה. לצורך העניין, אני תוהה לגבי "מכפלה אינסופית" באותו אופן - האם זה ברור מאליו שדבר כזה "קיים" (כי אם אתה יכול לכפול אינסוף פעמים, אז כבר "על הדרך" אתה יכול לבחור אינסוף פעמים). ...התשובה היא כנראה שזה לא כל כך ברור מאליו, או לפחות לא היה כל כך ברור מאליו לפני כך וכך שנים. ...אבל אני באמת קופץ מעל הפופיק כאן, אם כי מעניין אותי מה דעתך בנושא.

 

[עעעערררר]

מכפלה אינסופית מוגדרת היטב

היא קבוצת הבחירות (כמו כל מכפלה)

 

[iMeTaVDR]

וזו קבוצה אינסופית, לא?

 

[אורי769]

להיפך

אני חושב שזה כן היה ברור מאליו גם אז. אני לא בקיא בהיסטוריה של הדברים, אבל אני רק יכול לתאר לעצמי שאי שם סביב ראשית המאה ה-20 (שאז העיסוק האינטנסיבי בנושא החל) מישהו שם לב והסב את תשומת לב האחרים, שבהוכחות מסויימות נעשית ההנחה הסמויה שהמכפלה האינסופית אינה ריקה ושלמעשה הטענה הזו מצריכה איזושהי הצדקה. זה קורה לא מעט במתמטיקה שתחומים מתפתחים מבלי שהיסודות הלוגיים שלהם מבוססים דיו. הדוגמא הידועה ביותר היא האנליזה שהתפתחה כבר במאה ה-17 אבל היסודות הלוגיים בוססו רק במחצית השניה של המאה ה-19.
השאלות הללו הן מאד מהותיות בלוגיקה, אבל מחוץ לעולם הלוגיקה ספק אם הן מעניינות מישהו. לא נראה לי שיש מישהו שעוסק בטופולוגיה או באלגברה ומגדיר נאמר מכפלה אינסופית של מרחבים או של אלגבראות וכדומה ועוצר לשאול האם החיה החדשה הזו ריקה או לא.

 

[AnarchistPhilosopher]

אם היא ריקה אז כל טענה כוללנית בדבר החיה הזו הוא מתקיים,

וטענה ישית לא מתקיימת.
&nbsp
זה לא מעניין במיוחד.
&nbsp

 

[iMeTaVDR]

אני לא בטוח

שירדתם לסוף דעתי. באתי לתהות לגבי תהליכים אינסופיים כלשהם במתמטיקה, שאולי צצו לראשונה כהמשך לעבודתו של ארכימדס בניסיונו לפתור את בעיית חישוב שטח המעגל, ולגבי השאלה: האם זה מובן מאליו שתהליכים אלה "אפשריים", והאם הם צריכים להיות חלק ממתמטיקה (לא רק בהיעדר דרך טובה יותר)?

אני מבין שאיני מחדש כאן כלום, והשאלות הללו נשאלו ונידונו במשך אלפי שנים, והיו מקור אפילו לריבים לפני מאה-מאה-חמישים שנה, אך בכל זאת רציתי לדעת מה אתם חושבים על השאלה המטה-מתמטית הזו, עם כל הקפיצה שלי מעל הפופיק בעניין.

משהו רלוונטי:
[URL]http://en.wikipedia.org/wiki/Brouwer%E2%80%93Hilbert_controversy[/URL]

 

[עריסטו]

פה

[URL]http://www.gadial.net/2012/06/04/choice_order_zorn/[/URL]

 

[עריסטו]

אני מזכיר כאן את חידת האסירים

בבית סוהר אחד יש א0 אסירים. על ראשו של כל אחד מהם יש כובע שחור או לבן. כל אסיר רואה את הכובעים על ראשי האסירים האחרים אבל לא את כובעו שלו. כל אסיר צריך לנחש את צבע כובעו. אם מספר האסירים שישגו יהיה סופי, כל האסירים ישתחררו. האסירים יכולים לתאם ביניהם אסטרטגיה לפני שחובשים לראשיהם את הכובעים, אבל אחרי שהם עם הכובעים הם לא יכולים לתקשר זה עם זה. איך יצליחו האסירים להשתחרר?