אקסיומות

[אפלטוניסט]

אקסיומות

מה ההבדל המהותי בין לומר :
סתם לדוגמא

שבין שתי נקודות אפשר להעביר קוו ישר

את המעגל אפשר לחלק ל 360 חלקים

למה הראשונה היא אקסיומה והשנייה לא נחשבת לאקסיומה?
איך שאני רואה את זה שתיהן קביעות שמתעסקות במושגים מתמטיים
ההבדל אולי הוא שקו ישר הוא מושג בסיסי ומעגל לא ?

כלומר זה שבמשולש יש 180 מעלות זה רק בגלל שהמעגל מחולק ל360 חלקים שכל אחד מהם הוא מעלה לא ?
מישהו פשוט זרק לי פעם שזה שבמשולש יש 180 מעלות זו אקסיומה.

מה הופך קביעה שרירותית לאקסיומה?
האם אפשר להגיד שהגדרה היא סוג של קביעה ?

האם זאת טעות להשתמש כאן בכלל במלה הגדרה? שכן משמעותה היא יצירת הסבר ומשמעות למלה חדשה ע"י מילים אחרות שעליהן יש קונצנזוס ואו הסכמה לגבי פירושן

 

[אורי769]

תשובות

1.
אקסיומות הן כללים של תורה מסוימת. כל כלל יכול להחשב לאקסיומה של תורה כלשהי. אתה מדבר על האקסיומות של הגיאומטריה של אוקלידס.

2.
האקסיומה הראשונה טוענת כי דרך שתי נקודות עובר רק קו ישר אחד. המשפט השני שרשמת יתקשה להיות אקסיומה, קודם כל כי לא ברור מהו "חלק" וגם לא ברור מה החשיבות של המספר 360. מכל מקום אוקלידס לא כלל את הטענה הזו או דומה לה באוסף האקסיומות שלו.

3.
במערכת האקסיומות הקלאסית של אוקלידס, הטענה כי במשלוש סכום הזויות הוא זוית שטוחה (180 מעלות) אינו מהווה אקסיומה אלא טענה המוכחת מהאקסיומות האחרות. אם זאת, מסתבר שניתן להחליף את האקסיומה החמישית (אקסיומת המקבילים) בטענה שסכום הזוויות במשולש הוא זוית שטוחה. כלומר מערכת האקסיומות החדשה המתקבלת ע"י ההחלפה היא שווה בכוחה למערכת המקורית - כל דבר שהיה ניתן להוכיח קודם ניתן להוכיח בחדשה ולהיפך.

 

[אפלטוניסט]

כן אבל

אתה אומר כי לא ברור מהוא "חלק"
אולם גם לא ברור בדיוק מהוא קו כיוון שזה מושג בסיסי מה שנקרא וקשה להגדירו.
האם חייבים לדון במושגים בסיסיים בלבד בכל הנוגע לאקסיומות?

אתה אומר שהיא לא יכולה להיות אקסיומה? או פשוט רק שאוקלידס לא השתמש בה אבל היא כן יכולה להיות

 

[CPshahar]

קודם כל,

אווקלידס לא השתמש באף אכסיומה עם מספרים. הוא טען שהמשולש - זוויותיו שוות לסכום 2 זוויות ישרות. הוא לא היה צריך להגדיר אותו כ-180 מעלות. עכשיו, יש גם טענה מעגלית אם במשולש יש 2 זוויות ישרות אז זווית ישרה שווה למחצית הסכום - כלומר זווית שטוחה.
הוא ניסה לתת שמות מאפשר מספרים:
לזווית של 180 מעלות הוא קרא שטוחה.
לזווית של 90 מעלות הוא קרא ישרה.
לסכום הזוויות במשולש הוא קרא "סכום 2 זוויות ישרות".
אין כאן מספרים, לא?

 

[אפלטוניסט]

לא ממש הבנתם את כוונתי

אני בכלל לא מתעניין באוקלידס
אני סתם נותן דוגמא מנושא שאני מכיר

אני שואל מה מבדיל אקסיומה מסתם קביעה שרירותית.
הרי גם לומר שכל הזוויות הישרות שוות זו קביעה
וגם לומר שאת המעגל אפשר לחלק זו קביעה
גם לומר שיחידת שטח היא מטר רבוע זו סוג של קביעה.

אני גם שאלתי אם אקסיומה חייבת לדון במושגים ראשוניים שקשה להגדירם במדויק .


מה הופך קביעה לאקסיומה?
ברור לי שאקסיומות הן חוקי המשחק ושאין רק סט אחד של חוקים

 

[aetzbar]

מה זה אכסיומה ?

מה זה אכסיומה ?
אכסיומה זה שם מוסכם לידיעה טבעית, שתוקפה נובע ממנה עצמה
.
אם ראובן יטען "אני יודע שאני יודע" זוהי אכסיומה.

אם ראובן יטען כי "לכל דבר כמותי יש צורה" זוהי אכסיומה

ברגע שאכסיומה מוצגת היא מקבלת תוקף מיד.
עם אכסיומות לא מתווכחים,

אם אכסיומת ראובן לא תואמת את ידיעתו הטבעית של לוי , הוא יכול לנסות להפריכה.
אם לוי יציג גוש בצק חסר צורה, האכסיומות של ראובן הופרכו.

אם ראובן יציג אכסיומה האומרת : כי דרך שתי נקודות אפשר להעביר רק קו ישר אחד, יענה לו לוי כי אפשר להעביר דרך שתי נקודות, כמה קווים ישרים שנרצה. לקו יש רק אורך ואין לו רוחב, (לנקודה אין אורך ואין רוחב) ונתונים אלו מפריכים את אכסיומת ראובן ,
אם ראובן יציג את האכסיומה של המרחק הכי קצר, כנראה שלוי לא יצליח להפריך אותה.
אכסיומת המרחק הכי קצר, מבוססת על האכסיומה כי "לכל דבר כמותי יש צורה"
לכן , גם למרחק (שהוא דבר כמותי ) חייבת להיות צורה
וכך מנוסחת האכסיומה של המרחק הכי קצר:

למרחק הכי קצר בין שני מקומות גיאומטריים,
יש צורה ייחודית שניתן להמחישה עם שרוך מתוח.

א.עצבר

 

[aetzbar]

הנה עוד אכסיומה מעניינת - אכסיומת הניצב

המרחק הכי קצר אל קו ישר נתון, (מכל מקום מחוץ לישר) , הוא ניצב על הישר.

א.עצבר

 

[איייייל]

ביקשו ממך לא להגיב בדיונים על מתמטיקה

בשרשורי "כמתנות" תכתוב כמה שאתה רוצה, אבל אם אתה משתתף בדיונים אחרים אתה עלול להטעות אנשים תמימים שמתעניינים במתמטיקה ולא בכמתנות (ולא עוקבים בפורום מספיק זמן כדי להכיר אותך)

 

[aetzbar]

זה לא שרשור בי"ס, ולא שרשור אקדמי, ואין בו

שאלה על פתרון מקובל של תרגיל מתמטי , ולכל אלה גזרתי על עצמי "אין כניסה"

זה שרשור מעניין מאוד, הנוגע לידע אנושי בסיסי, וזה התחום שמעניין אותי.
בתחום זה יש מקום לחופש רעיוני מלא, להשמיע ולשמוע.
במשפט שלך על " אנשים תמימים " הענקת לעצמך סמכות על של הבנה, וראוי שתבטל אותה מרצונך החופשי.
ובכלל , לך יהיה מותר לענות על האלה "מהי אכסיומה" ? ולי לא ????? היעלה על הדעת
להזכירך, אנו עוסקים במדע , שהטלת ספק היא אחת מאושיותיו
ואולי שכחת זאת ?

א.עצבר

 

[אורי769]

הטלת ספק?

איפה פה בדיוק הטלת הספק?? המתמטיקה היא קודם כל שפה. בשפה הזאת למילה אקסיומה יש משמעות מסויימת. את המשמעות הזאת מבין מי שיודע לדבר את שפת המתמטיקה. כמו עברית - למילה "מעניין", למילה "נוגע" למילה "ידע" כמו לכל שאר המלים שהשתמשת בהודעתך יש משמעות. רק מי שמבין עברית יכול לקרוא ולהבין. יתרה מכך, לא מספיק לדעת עברית. צריך גם רקע וידע. לדוגמא, גם סבתא שלי מכירה את המילה "שירשור" ואת המילה "אקדמי" אבל היא לא תבין מה כוונתך ב"שרשור אקדמי" מפני שהיא מעולם לא גלשה בפורום הזה. היא אפילו לא יודעת מה זה פורום ושמעה רק בחצי אוזן על האינטרנט. בדומה - גם אתה לא למדת מתמטיקה. אתה ממציא מתמטיקה משלך, וזאת זכותך. אבל תכיר בעבודה שאתה מדבר על שפה שאתה לא יודע עליה דבר וחצי דבר. זה כמו שתלך להגיב בפורום העוסק בשפה הארמנית ואתה בכלל לא יודע מילה אחת בארמנית.

בקיצור, שאלת משמעות המושג "אקסיומה" אינו שאלה של דיעה אלא של ידיעה - ואתה ידידי היקר פשוט לא יודע... זה לא בושה לא לדעת. כפי שכבר כתבתי, זאת מחלה שיש לה תרופה ידועה ומוכרת - קוראים לה ללמוד. אתה מוזמן.

 

[aetzbar]

שלושת האכסיומות של המתמטיקה

האכסיומה הראשונה היא המשוואה המילולית הבאה

הכמות הערטילאית של 1 = לכמות הערטילאית של 1
ובקיצור
1 = 1

האכסיומה השנייה טוענת ,
כי על הכמות הערטילאית של 1 ניתן לבצע 3 פעולות כמותיות יסודיות.

א: צבירת 1
ב: חלוקה אחידה של 1
ג: חלוקה דעכנית של 1


האכסיומה השלישית טוענת ,
יש כמויות ערטילאיות , שאין להן ייצוג מספרי.

א.עצבר

 

[aetzbar]

לצערי, אני ממש מטיל ספק ,בידיעתך מהי אכסיומה

ספק זה התחזק בעקבות קריאה חוזרת של שתי השורות האחרונות של תגובתך,

ציטוט....
בקיצור, שאלת משמעות המושג "אקסיומה" אינו שאלה של דיעה אלא של ידיעה - ואתה ידידי היקר פשוט לא יודע... זה לא בושה לא לדעת. כפי שכבר כתבתי, זאת מחלה שיש לה תרופה ידועה ומוכרת - קוראים לה ללמוד. אתה מוזמן

היה מאוד רצוי להחליף את שתי השורות האלה במענה לשאלה ...מה זה אכסיומה ?

אם המענה ישכנע אותי, אני מתנצל מראש על כך שהטלתי ספק בידיעתך ....מה זה אכסיומה ?

א.עצבר

 

[CPshahar]

אכסיומה

אכסיומה היא דבר שאני מקבלים כאמיתי ונכון. בלא שום דרך להוכיחו. למשל את השערת הרצף הוכיחו גם כסתירה וגם כחיוב ע"י פול כהן. התשובה לסתירה זו שהמשפט נכון וגם שגוי מוסברת ע"י כך שאנחנו בוחרים אילו אכסיומות אני משתמשים. אם משתמשים באכסיומות שמחוץ לתורת המספרים, ההשערה יכולה להיות גם נכונה וגם מופרכת.
לאוקלידס היו 5 אקסיומות (או 10 - אם מחשיבים את השאר) שאותן ניסו להוכיח או התיימרו להוכיח וקיום ידוע שהוחתם היא בלתי אפשרית. למשל האכסיומה החמישית - אכסיומת המקבילים - מופיעה במספר הוכחות שכולן שגויות. הניסיון להוכיח אכסיומה הוא דבר טרחני ומגלה שבמתמטיקה לא לכל דבר יש הסבר.
בנוסף, יש מושגים ראשוניים - נקודה, מרחב, וכו' שאינן מוגדרים.
למשל, בפיסיקה ישנם גדלים ראשוניים שמהם נובעים כל נוסחאות הפיזיקה והם : זמן, מסה ועוד מושג. שאינן מוגדרים.
הצורך להשתמש באכסיומות מאפשר לנו לפתח מתמטיקה. אם יפריכו אכסיומה מסוימת אז כל המתמטיקה הבנויה עליהן מתגלה כלא-עקבית.

 

[אורי769]

פשוט מאד

אם אתה באמת רוצה להבין מהי אקסיומה ובכלל לוגיקה מתמטית לעומק, אתה צריך לעשות דבר פשוט - ללכת ללמוד מתמטיקה. באותה נשימה אציין ששני החברים הנכבדים שענו לך כאן לא נקטו בצעד הזה. התשובות שלהם בהתאם.

 

[טלמון סילבר]

בנוסף למה שכתב אורי

אכן מערכת אקסיומות היא פחות או יותר מערכת הגדרות שרירותית על אובייקטים כלשהם. כדוגמה ר' כאן.

בנוגע לקביעה שמעגל מתחלק ל-360 מעלות, היא לא מתאימה להיות אקסיומה. נניח שאפשר לחלק את המעגל ל-444 חלקים שווים, ולכל חלק נקרא "קוקוריקו". ואז אכן אפשר לומר שהמעגל מתחלק ל-444 קוקוריקו. אז בסדר, אבל בעצם לא אמרנו בזה שום דבר. רק אמרנו ש-444 חלקי 444 שווה 1. כנ"ל האמירה שהמעגל מתחלק ל-360 מעלות היא ש-360 חלקי 360 שווה 1 שלם. מאותה הסיבה גם השוויון 1=1 לא יכול להיחשב לאקסיומה גיאומטרית, כי הוא לא אומר שום דבר על היחסים בין האובייקטים הגיאומטריים.

 

[הפרבולה]

למה אתה אומר

שאקסיומות זה מערכת הגדרות שרירותית על אובייקטים ?

אולי יותר נכון להגיד ש
שאקסיומות זה מערכת טענות שרירותית על אובייקטים ?

אגב בד"כ דורשים שמערכת אקסיומות תהיה מצומצמת ( שאין אקסיומה "מיותרת" שניתן להוכיחה מהאחרות ), ושתהיה עיקבית ( שלא ניתן על סמך המערכת להוכיח משפט כלשהוא ואת היפוכו )

 

[אפלטוניסט]

נכון אבל

כל מה שאמרו כאן לפני הוא ברור לי ואני בכלל לא מתייחס אליו וגם כי זה נושא מתקדם טיפה יותר כלומר. כל הנושא של עקביות ושלא יהיו טענות מיותרות וכולי כבר מתייחס למצב
שיש לנו אקסיומות... אני שואל איך אני יודע שמה שאני יוצר היא אקסיומה , מעבר ללנסות להוכיח את הטענה בעזרת טענות אחרות ולראות שאי אפשר.

יותר נכון לומר לדעתי
שצירוף כלשהו של טענות ואו קביעות שרירותיות על אובייקטים מוחשיים או דמיוניים, (כאשר הטענות עלולות להיגזר מדרך ראייתנו את העולם או לא.)
צירוף כזה יוצר מערכת "משחק" . השאלה אם המערכת נכונה או הגיונית אינה רלוונטית לטעמי.

מה שכן צריך לשאול זה איך אפשר לדעת שמערכת שיצרנו עבור, לדוגמה: הבנת המרחב, נותנת בידינו את כל הכלים כדי להוכיח את כל התכונות של אותו אובייקט.
אולי אם מדובר באובייקט יציר דמיוננו בלבד אז מערכת האקסיומות היא תמיד "שלמה" כי היא למעשה יוצרת את האובייקט לא יכול להיות שיהיו תכונות שמסתתרות מאיתנו או שלא ניתן להוכיח אותן מהאקסיומות, אם האקסיומות עצמן יוצרות דבר חדש שלא היה קיים לפני כן . נדמה לי שגדל הוכיח משהו דומה לגבי המתמטיקה ותורת המספרים בפרט לא? אם היא עקבית כי אז יש טענות שלא ניתן להוכיחן או להפריכן אבל זה כבר חומר של גדולים..

 

[הפרבולה]

איך אתה יודע שקביעתך היא אקסיומה ?

אם היא לא ניתנת להוכחה על יד אקסימות\מישפטים קודמים והיא לא מביאה לסתירה אז היא אקסיומה.
אני מניח שבד"כ מוסיפים אקסיומה למערכת כדי להרחיב את המסקנות שנובעות ממנה ולעשות את התורה הנובעת ממנה יותר "שלמה" ( למרות שלפי גדל אין אפשרות להגיע למערכת שלמה )

 

[aetzbar]

האכסיומה המדעית היא כמותית וברת הפרכה

אכסיומת המרחק הכי קצר היא כמותית וברת הפרכה
אכסיומת הניצב היא כזו
וגם אכסיומת המקבילים היא כזו

ללא סימני ההיכר ...כמותית....ברת הפרכה.... אפשר להגיע אל התחום הפנטסתי , סיפורי , אגדתי וכו '

א.עצבר

 

[jack4u]

מעניין שאתה משתמש במחשב

שעובד על אותם אקסיומות , וזה עובד פעם אחרי פעם , לצערנו ..

(וכמובן, כהרגלך בקודש , עכשיו תתעלם לחלוטין ממה שרשמתי , ופשוט תשרשר אליי עוד שאלה אבסטרקטית, שאין לה שום קשר למה שרשמתי )