אסימפטוטה אופקית

[verdor1]

אסימפטוטה אופקית

1. האם ניתן לנסח כלל כי כאשר לפונקציה כלשהי יש אסימפטוטה אופקית , לנגזרת שלה יש אסימפטוטה אופקית השואפת לאפס?
2. לפונקצית הנגזרת של שורש x ישנה אסימפטוטה אופקית 0. לפונקציה שורש אין אסימפטוטה אופקית. מכאן ששיפועי המשיקים לגרף הפונקציה שואפים לאפס ולמרות זאת הגבול ההוא לא אפס????
מה שגוי באופן הניתוח הזה שכן ברור שלפונקצית שורש אין אסימפטוטה אופקית וגם ברור כי סידרת השיפועים שואפת לאפס...
תודה מראש

 

[אוזו רוזו קוקורוזו]

1. זה פשוט לא נכון.

כשפונקציה שואפת לקבוע, זה אפילו לא אומר שהנגזרת שלה קיימת.
2. מה הבעייה? שורש איקס שואפת לאינסוף, והנגזרת שלה שואפת לאפס. אז מה?

 

[verdor1]

בהמשך לתשובתך

תודה על התגובה.
אודה לך אם תרחיב .
ברור לי כי לנגזרת של שורש איקס יש אסימפטוטה אופקית שואפת לאפס והפונקציה שואפת לאין סוף.
מה שלא מסתדר לי זה שהרי סידרת שיפועי המשיקים שואפת לאפס אז איך קורה שבעצם לפונקציה אין אסימפטוטה אופקית.

 

[אוזו רוזו קוקורוזו]

הנגזרת של פונקציה

היא גם פונקציה.
הנגזרת של שורש איקס, היא: 1 חלקי שני שורש איקס. זו פונקציה אחרת.
נכון, היא משקפת את הטנגנסים של המשיקים לגרף של הפונקציה המקורית.

כאשר איקס שואף לאינסוף, הטנגנס הזה, "השיפוע", ששווה ל-1 חלקי שני שורש איקס, אכן שואף ל-0.

זה אכן אומר, שלפונקציה 1 חלקי שני שורש איקס יש אסימפטוטה אופקית.

הפונקציה המקורית, שורש איקס, לא שואפת ל-0, אז אין לה אסימפטוטה אופקית.

הנגזרת שלה כן שואפת ל-0 (כאשר איקס שואף לאינסוף), אז לנגזרת הזאת יש אסימפטוטה אופקית.

 

[אוזו רוזו קוקורוזו]

אסימפטוטה

היא ישר, שהפונקציה "שואפת להתלכד איתו", ולאו דווקא "בעדינות", "בצורה יפה".
חפש בגוגל הגדרה של אסימפטוטה. למשל: [URL]https://he.wikipedia.org/wiki/%D7%90%D7%A1%D7%99%D7%9E%D7%A4%D7%98%D7%95%D7%98%D7%94[/URL]

ראה ציור מצורף. מצוירים בו גרפים של שלוש פונקציות.

בצבע כחול מצויר הגרף של הפונקציה [y שווה] שורש איקס. למרות שהגרף הזה נעשה "יותר ויותר שטוח", הוא אינו שואף להתלכד עם אף ישר. איזה ישר שלא תיקח, באותו מישור בו נמצא הגרף הכחול, הם (הגרף והישר שתבחר) ילכו ויתרחקו זה מזה! זה אומר, שאין לפונקציה הזאת שום אסימפטוטה. לא אופקית ולא משופעת.

בצבע אדום מצויר הגרף של הפונקציה [y שווה] 1 חלקי שני שורש איקס. פונקציה זו היא בדיוק הנגזרת של הפונקציה "הכחולה".
לפונקציה "האדומה" יש שתי אסימפטוטות: אסימפטוטה אפקית, כי הפונקציה שואפת למספר הקבוע אפס כאשר איקס שואף לאינסוף, ואסימפטוטה אנכית, כי הפונקציה שואפת לאינסוף כאשר איקס שואף ל-0+.

השיפוע של הפונקציה "הכחולה" אכן שואף ל-0. וזה אומר, לפי ההגדרה, שלפונקציה "האדומה" יש אסימפטוטה אפקית. זה לא אומר שום דבר על אסימפטוטות כלשהן של הפונקציה "הכחולה".

דוגמה נוספת מצוירת בצבע סגול. זה גרף הפונקציה

y = 1.5sin(x²)/x

כאשר איקס שואף לאינסוף (וגם למינוס אינסוף) הפונקציה הזאת שואפת ל-0. זה אומר שיש לה אסימפטוטה אפקית, שהיא ציר איקס: הישר y=0.
הגרף הסגול "שואף להתלכד" עם ציר איקס. הוא שואף לזה "באופן די מגושם", "מכוער", אבל מבחינת ההגדרה אין לכך שום משמעות: לפונקציה "הסגולה" יש אסימפטוטה אפקית, להבדיל מ"הכחולה", שלמרבה הצער אין לה

 

[verdor1]

עוד שאלה ברשותך

ראשית , תודה על הפירוט ...
דבר אחד נוסף לא ברור לי כאן , אם שיפועי המשיקים של הפונקציה הכחולה שואפים לאפס אתה אומר שלנגזרת ( האדומה ) יש אסימפטוטה אופקית אפס.
אז אם לפונקציה שיש לה אסימפטוטה אופקית ונניח שהיא גזירה עבור אותו תחום , למה לא ניתן לטעון כי לנגזרת שלה יש אסימפטוטה אופקית אפס?
ושוב תודה מראש

 

[אוזו רוזו קוקורוזו]

כי זה לא נכון. הפונקציה "הסגולה" היא דוגמה נגדית.

יש לה אסימפטוטה y=0 (ציר איקס), והיא גזירה בכל איקס, ולנגזרת שלה אין שום אסימפטוטה.