אלף-אפס

[נחום כספי]

אלף-אפס

למה הקבוצה האינסופית הקטנה ביותר היא הקבוצה בת-המנייה? (כלומר עוצמתה אלף-אפס?)

 

[AnarchistPhilosopher]

תניח בשלילה שיש עוצמה אינסופית קטנה יותר מאלף אפס.

תראה שהיא בהכרח סופית.
&nbsp
הדרך היא מאוד פשוטה, קח את כל הקבוצות הסופיות שאיחודן בעוצמה קטנה מאלף אפס אבל שווה לעוצמה האינסופית שהנחנו שהיא קטנה מאלף אפס.
&nbsp
נקבל איחוד בן מניה של קבוצות סופיות שהוא בן מניה ושווה לעוצמה האינסופית הקטנה מאלף אפס, לפי הגדרה חייב להיות שוויון בין העוצמה הזו לעוצמת אלף אפס.
&nbsp
&nbsp

 

[נחום כספי]

אבל,

אבל, מאיפה אני יודע שהאיחוד הוא איחוד בן מנייה של קבוצות סופיות?

דרך היא מאוד פשוטה, ....

נקבל איחוד בן מניה של קבוצות סופיות שהוא בן מניה ושווה לעוצמה...

 

[נחום כספי]

אני חשוב שמדובר באקסיומה. יש דרך להמחיש אותה?

 

[AnarchistPhilosopher]

כדי לכסות קבוצה אינסופית בתתי קבוצות סופיות אתה בהכרח צריך

איחוד אינסופי שלהן.
&nbsp
איחוד אינסופי שהוא לא בן מניה יהיה גדול מעוצמת אלף אפס, והאפשרות האחרת היא איחוד בן מניה.
&nbsp
אבל עכשיו כשאני חושב על זה זה מרגיש מעגלי, אולי זה כמו השערת הרצף, מניחים בדר"כ שאין עוצמה אינסופית קטנה מעוצמת המספרים הטבעיים.
&nbsp
אני לא חושב שיש הוכחה שאין עוצמה אינסופית קטנה מעוצמת המספרים הטבעיים, לפחות הוכחה שלא תהיה מעגלית.
&nbsp
וכשאני חושב על זה, אחת מהאקסיומות של תורת הקבוצות היא שיש קבוצה אינסופית:
https://en.wikipedia.org/wiki/Axiom_of_infinity

 

[בחשכת הלילה]

כי

כל תת-קבוצה אינסופית של קבוצת המספרים הטבעיים, היא בת-מנייה.
אם קבוצה A היא אינסופית שעוצמתה קטנה מ-א0, אז היא שקולה לתת-קבוצה אינסופית של המספרים הטבעיים, ועוצמתה שווה א0.

 

[נחום כספי]

את...

את המשפט האחרון לא הבנתי, זוהי אכסיומה המשפט הזה.
"אם A ..."

 

[בחשכת הלילה]

המשפט האחרון נובע מההגדרה של השוואת עוצמות.

עבור כל שתי קבוצות A ו-B מתקיימת אחת ורק אחת משלוש הטענות הבאות:

1. קיימת ביניהן שקילות (אפשר לחלק את כל אבריהן לזוגות, בכל זוג - אברים משתי הקבוצות. או: קיימת פונקציה חחע"ע מ-A ל-B). למצב כזה קוראים: "הקבוצות A ו-B הן בעלות אותה עוצמה"

2. קיימת שקילות בין קבוצה B לבין תת-קבוצה של A, אבל לא קיימת שקילות בין B ל-A. למצב כזה קוראים: "העוצמה של קבוצה A גדולה מהעוצמה של קבוצה B".

3. כמו 2, אבל להיפך: קיימת שקילות בין קבוצה A לבין תת-קבוצה של B, אבל לא קיימת שקילות בין A ל-B. למצב כזה קוראים: "העוצמה של קבוצה A קטנה מהעוצמה של קבוצה B".

הטענה שכתבתי לעיל, שעבור כל שתי קבוצות מתקיים אחד ורק אחד משלושת התנאים הללו, היא משפט.
לעומת זאת, השם של כל אחד ממצבים אלה (מודגש בצבע אדום) הוא הגדרה.

עכשיו מובן המשפט האחרון בהודעתי הקודמת?

 

[נחום כספי]

אכן, כן!!!

 

[עריסטו]

יש תרגיל נחמד, אולי תרצה לחשוב עליו

למצוא קבוצה A בעלת התכונות הבאות:

כל איבר של A הוא תת-קבוצה אינסופית של N (קבוצת המספרים הטבעיים).

A לא בת מניה.

החיתוך של כל שני איברים ב-A הוא קבוצה סופית.