אכסיומות

[Pete666]

אתה טוען דברים קשים

אבל העובדה שאכסיומה נהיית מיותרת ברגע שאפשר להוכיח אותה (להסיק מאכסיומות אחרות) תעזור לי לצמצם את המערכת הלוגית שאני בונה. האכסיומה היחידה שאני זקוק לה (לדעתי) היא שהיקום הוא מערכת עקבית, כלומר: אין התערבות של כוח עליון כלשהו. אני חושב שתיאורטית אפשר יהיה להוכיח שאם ישנה התערבות של כוח כזה, הרי שגם ההתערבות היא במסגרת העקביות (היא חלק מהמערכת ואינה עצמאית אלא מצייתת לאותם חוקים), אבל רק רציתי לכסת"ח את הכל מכל הכיוונים כדי שלא ייבעטו בי על ההתחלה. --ראש.

 

[איגור קרסיק]

עצור!

אין קשר הכרחי בין המציאות למתמטיקה. אומנם אנו נעזרים במתמטיקה בשביל לתאר את היקום, אבל המתמטיקה לא מתיימרת לתאר את היקום. אגב, יש מספר נושאים במתמטיקה שאין בינם לבין המציאות שום קשר [עיין ב"לוגיקה מתמטית" (לא מתארת שום דבר ביקום), תורת הקבוצות, מבנים אלגבריים ועוד]. יתר על כן, מה שאמרת בקשר ליקום הוא די חסר משמעות, שכן ל"יקום" אין כל משמעות מתמטית.

 

[Pete666]

אכסיומות

איך מוצדק השימוש באכסיומות במתמטיקה (או בכל תורה לוגית אחרת), אם את האכסיומות עצמן לא-ניתן להוכיח?

 

[טלמון סילבר]

המשפט שלך זהה למשפט הבא:

איך מוצדקת הנחת הנדבך התחתון בבניין, אם אותו עצמו (את הנדבך התחתון) לא ניתן להניח על נדבך אחר? האלטרנטיבה היא לא לבנות בכלל את הבניין. במילים פשוטות: תחום כלשהו של המתימטיקה מושתת על הגדרת האובייקטים, בהם הוא עוסק, כולל הגדרת הפעולות שניתן לבצע עם אובייקטים אלה. להגדרות הללו קוראים אקסיומות. אם לא הגדרתָ את האובייקטים ואת הפעולות, אז אין על מה לדבר. המתימטיקה הטהורה היא מודל בלבד. בביולוגיה אתה לא חייב להגדיר כל דבר. אפשר, למשל, לקבוע סימנים ל"דג" כשזה חשוב, אבל אפשר לחקור את הדגים גם בלי להתעמק בהגדרתם. כנ"ל גם המתימטיקה של ביה"ס: מדברים שם על מספרים, נקודות וכו´ מבלי להגדיר אותם בדיוק. קצת מרככים את העניין. מניחים שגם כך ברור מה זה דג, מה זה מספר, ומה זו נקודה. גישה סלחנית זו הטעתה אותך. אוקלידס ניסה לעשות סדר בדברים, והכניס את האקסיומות (שהן למעשה הגדרות). היום החליפו אותן אקסיומות מדוייקות יותר להנדסת המישור האוקלידית: אקסיומות הילברט. אם סיבכתי אותך בהמשך, קרא שוב את משפט הפתיחה על הנדבך התחתון: האנלוגיה מוחלטת!

 

[Fingertip]

דרך נוספת להבין...

אפשר להסתכל על המתמטיקה כתורת השכנוע: ההוכחה המתמטית אמורה לשכנע גם את האדם הספקן ביותר. אולם, גם כאשר אתה ועוד בן אדם חולקים לחלוטין, על מנת שתוכלו לנהל ויכוח, אתם חייבים להסכים על משהו. ה"משהו" הזה הוא הגדרת "כללי המשחק". דוגמה לכזו הגדרה היא השפה שבה מדברים. אם אתה אומר: "אביר" והוא מבין את זה כ: "a beer" ברור שאין על מה להתכווח. אותו הדבר עם אקסיומות. הן באות לתת קרקע משותפת לויכוח. הן מהוות את ההנחות הבסיסיות שבין שני הווכחנים. לשם ההמחשה, נתאר מתמטיקאי בצורה ציורית: המתמטיקאי עומד מול אדם ספקן ביותר, והם מתחילים דיון. הם מסכימים על קבוצה של "עובדות" שנקראות ההנחות. מעבר לזה, כל מה שהמתמטיקאי טוען, היריב שלו לא יאמין לו. על המתמטיקאי לשנות את דעתו של הוכחן אך ורק באמצעות ההנחות ששניהם מסכימים עליהן. כאשר המתמטיקאי משכנע את הספקן בקשר לאמיתות טענה מסויימת, אפשר להוסיף אותה לקבוצת ההנחות. אני משער שתוכל להמשיך את האנלוגיה מכאן... בכל מקרה, אני מקווה שהבהרתי הנושא של אקסיומות באור נוסף. אהד.

 

[raanan bashan]

[פיט666 ממחשב אחר] אז אם מישהו בא

ומציב אכסיומה הפוכה לזו שלי, אז להאמין לי או לא זה פשוט עניין של מי משכנע יותר? ודרך אגב - מתיי מחליפים אכסיומות? כלומר, איך אכסיומות מתמוטטות? מתי ניתן לומר על אכסיומה שהיא חסרת-תועלת? האם ישנה וודאות אובייקיבית כזו?

 

[איגור קרסיק]

......

אקסיומה = הגדרה [מבחינה מתמטית]. אין משמעות של אמונה במקרה זה. השאלה שלך היא אילו אקסיומות מתארות את היקום. זו שאלה שקשורה למדע ולא למתמטיקה. הדרך היחידה "לדעת" היא ע"י ניסויים... בקשר לשאר, אהד ענה לך...

 

[pallidfool]

דעתי

על ההוכחה המתימטית אפשר להסתכל בשתי דרכים: 1) כמתמטיקאים. כך אנחנו רואים רק (ולא יותר) את הבא: אם A אז B, בעזרת ההוכחה שלנו. כלומר אנחנו טוענים שאם מתקיים משהו מסויים A (אלו הן האקסיומות שלנו) אז יתקיים B (המשפטים שלנו). 2) כבני אדם (

). כבני אדם אנחנו מנסים להבין דברים מהמתימטיקה. לכן, אנחנו בוחרים אקסיומות --שנראות-- לנו הגיוניות (ככה סתם כי בא לנו) ומהן מסיקים דברים שמעניינים אותנו. כבני אדם, שמקבלים הרבה הנחות גם בלי הוכחה, אנחנו מסתפקים בתוצאות שנותנת לנו המתימטיקה על סמך ההנחות הטריביאליות (כבני אדם הן טריביאליות בשבילנו. כמתימטיקאים - טריביאליות של אקסיומות חסרת משמעות לדעתי).