אי שיוויון התמורות

[white shadow 3]

אי שיוויון התמורות

אחר הצהריים טובים.
אני צריך להוכיח את אי השיוויון שמצורף בתמונה..

אני יודע שצריכים למצוא 2 סדרות של איברים כך איבריהם מסודרים בסדר עולה, ואז למצוא תמורות בין האיברים שלהן (אני מניח שהסדרה הראשונה ככל הנראה צריכה להיות
a1<a2,a3...>an
למרות שגם כאן התחלתי לחפש אופציות אחרות שאולי אצליח לשחק איתן ולהגיע למצב הדרוש באגף שמאל)
אבל הסתבכתי עם הסדרה השניה שמביאה אותי בסופו של דבר למצב שבו יש לי במכנה חזקות של 2^i

תודה

 

[טלמון סילבר]

לא רואים את השאלה.

מה זה a1,a2,a3 וכו'?

 

[white shadow 3]

מוזר...השאלה היא:

להוכיח ש:
zz a1/(1^2) + a2/(2^2) + a3/(3^2) +...+an/(n^2) >= 1/1+1/2+1/3+...+1/n zz

 

[ןן גיל ןן]

לא כתבת מה נתון על הסדרה (an)

וברור שבלי שום נתון, זה לא נכון.
אפשר לנחש שהנתון הוא ש- an...a1 זו תמורה של 1..n - ואז זה נובע מיידית מהאי שוויון שציינת (הנקרא rearrangement inequality)

 

[white shadow 3]

נתון ש-a1...an מספרים טבעיים שונים, וצריכים להוכיח

את אי השיוויון שנתון...

 

[ןן גיל ןן]

אם כך

אציע לך רמז: סדר את המספרים ai מהגדול לקטן. קרא למספרים המתקבלים bi. הוכח שאגף שמאל גדול או שווה לסכום שבו מחליפים את ai ב- bi.

 

[white shadow 3]

אני לא בטוח 100% שהבנתי

הכוונה לקחת לדוגמא את המספרים:
1,2,3 ולהראות ש:
zz (1/(1^2) + 2/(2^2) + 3/(3^2) >= 3/(1^2)+2/(2^2)+1/(3^2) zz
?
כי זה לא ממש מסתדר לי

 

[ןן גיל ןן]

לא הבנתי את הדוגמה שלך

אני מציע לך דרך לפתרון. הוכח את האי שוויון בשני שלבים.
בדוגמה שלך, מהם a1,a2,a3?
עדיף שתיקח a1,a2,a3 שהם לא המספרים 1,2,3 אלא יש ביניהם מספרים גדולים יותר, ושאינם מסודרים (מהגדול לקטן או מהקטן לגדול). זו תהיה דוגמה יותר "כללית".
ודבר אחרון - האי שוויון שכתבת הוא לא נכון - הכיוון ההפוך הוא הנכון.

 

[person11]

סליחה אבל

לא התכוונת מהקטן לגדול? (רק להיות בטוח)

 

[ןן גיל ןן]

צודק!

מהקטן לגדול. וצריך להשתמש כאן באי-שוויון האומר שהסכום הוא הקטן ביותר כאשר שתי הסדרות הן בסדר הפוך זו לזו.

 

[white shadow 3]

אני כנראה מפספס כאן משהו

נניח וניקח את הסדרה הראשונה להיות:
zz A:: a1<a2<a3<...<an zz

ואת הסדרה השניה להיות :
zz B:: 1/(1^2)>1/(2^2)>1/(3^2)>...>1/(n^2) zz

אז לפי אי השיוויון יוצא ש
zz a1/1^2+a2/2^2+a3/3^2+...+an/n^2 zz זה הביטוי הקטן ביותר שנוכל לקבל מתמורות בין איברי שתי הסדרות (שזאת גם הטענה שהועלתה ברמז)

אבל איך העובדה הזאת עוזרת לי להוכיח שהביטוי הזה (שהוא הכי קטן מכל שאר התמורות שאוכל לקבל משתי הסדרות האלו) יותר גדול מאגף ימין?

חשבתי אולי לכפול כל איבר ב-A ב-i (כלומר איבר ראשון לכפול ב=1, איבר שני ב-2, איבר שלישי ב-3 וכו'.) וכל איבר ב-B לכפול ב-
zz1/ai
כלומר האיבר הראשון יהיה
zz 1/(1^2a1) zz
שני:
zz 1/(2^2a2) zz
שלישי:
zz 1/(3^2a2) zz
וכו
ואז אם משתמשים במה שראינו למעלה וכופלים את האיבר הכי קטן ב-A באיבר הכי גדול ב-B וסוכמים בניהם מקבלים בדיוק את הסדרה
zz 1+1/2+1/3+1/4....zz
שגם היא הקטנה ביותר מבין כל התמורות,
אך אני לא כ"כ מבין איך אני מקשר בין 2 המסקנות שהגענו אליהן משתי הסדרות A ו-B והסדרות ה"חדשות" A' ו-B' (אחרי השינוי שביצעתי בהם)

 

[ןן גיל ןן]

אם an סדרה עולה של טבעיים

אז an >= n.

 

[white shadow 3]

הגיוני

תודה רבה!

 

[אכן 22]

אופס

טעות