אי רציונליים

[jaXon]

חיבור אי רציונליים

נכון. בגלל זה ציינתי שלא ניתן לקבוע שום דבר כללי לגבי חיבור/חיסור של מספרים אי רציונליים.

 

[ronitgl]

אי רציונליים

אשמח אם תתיחסו לחבור וחיסור מספר אי רציונלי עם רציונלי וכן לחיבור וחיסור נספר אי רציונלי עם מספר אי רציונלי ועוד שאלה ש"קטנה עליכם" איך מוכיחים ששורש 3 חלקי 2 הוא אירצינלי תודה מראש

 

[jaXon]

הוכחת אי הרציונליות

להלן הוכחה פשוטה מהסגנון המקובל לבעיות אלו : נניח בשלילה כי שורש 3/2 הינו רציונלי, כלומר שווה ל m/n עבור m,n שלמים כלשהם. זה נותן לנו שוויון. נעלה משוואה זו בריבוע ונעביר אגפים ונקבל : 3n^2=2m^2 (^ מציין חזקה) כעת רואים כי n חייב להיות זוגי כי אגף ימין זוגי. נניח n=2k אם נציב נקבל לאחר צמצום : 6k^2=m^2 וכאן רואים כי m חייב להיות זוגי. נציב במקומו 2r לאחר צמצום נקבל 3k^2=2r^2 כלומר חזרנו למשוואה שממנה התחלנו, אך עם משתנים אחרים. נוכל להמשיך כך עד אינסוף למעשה, וזה עומד בסתירה לסופיות של המספרים המקוריים m ו n. (הרי נוכל להראות בשיטה זו כי הם גדולים מכל מספר שבעולם). מסקנת הסתירה היא שההנחה שגויה - שורש 3/2 אינו יכול להיות רציונלי.

 

[ronitgl]

תודה רבה

מה לגבי חיבור או חיסור מספר אי רציונלי מרציונלי או רציונלי מאי רציונלי האם יש חוקים לגבי התוצאה האם הסכום או ההפרש בהכרח אי רציונליים ושוב תודה מראש

 

[jaXon]

רציונלי או לא - זו השאלה

נתחיל מכך שחיבור/חיסור שני רציונליים תמיד יהיה רציונלי (תמיד ניתן להוציא מכנה משותף ולקבל שבר מדומה חדש עם שלמים במונה ובמכנה). פעולת חיבור או חיסור בין רציונלי לאי רציונלי תהיה בהכרח אי רציונלית. אם נניח בשלילה אחרת, אזי אם נעביר את החלק הרציונלי אגף ונחבר עם התוצאה (שהנחנו שהיא רציונלית) נקבל מספר רציונלי. אבל באגף השני נשאר רק האי רציונלי, ומכאן הסתירה. לעומת זאת לגבי פעולת חיבור/חיסור/כפל ועוד בין שני אי רציונליים לא נוכל לקבוע שום דבר באופן גורף. לפעמים התוצאה רציונלית ולפעמים אי רציונלית.

 

[ronitgl]

תודה על ההתיחסות

 

[טלמון סילבר]

חידה קטנה:

נתון: שלוש הצלעות ואחד הגבהים של משולש - מספרים שלמים. מה אפשר לומר על שני הקטעים שהגובה השלֵם מחלק את הצלע המאונכת אליו?

 

[sharc]

יצא לי שפעמיים מכפלת אורכיהם

הוא מספר שלם

 

[טלמון סילבר]

האם הם יכולים להיות אי-רציונליים?

 

[jaXon]

תשובה

נחמד....אורכי הקטעים חייבים להיות שניהם רציונליים. זאת מכיוון שסכומם רציונלי (הוא שלם לפי הנתון), והפרשם גם רציונלי (תוצאה מחישוב פשוט).

 

[טלמון סילבר]

הם שלמים.

 

[jaXon]

?

איך מסיקים זאת מהנתונים שסיפקת? ניתן מסיק ש (a-b)(a+b)/c=(c1-c2) כשאר c1 ו c2 אורכי הקטעים שסכומם c. מדוע שבר זה יוצא שלם?

 

[טלמון סילבר]

צריך לחַשֵּב את C1 ו-C2 עד הסוף,

כלומר לכתוב את הערכים שלהם כשורש ריבועי של..., והסכום שלהם שווה C. אח"כ מעבירים אחד מהם אגף, ומעלים בריבוע. נשאר שורש אחד. האם הוא יכול להיות מספר לא שלֵם?

 

[טלמון סילבר]

והשבר שלך יוצא שלם, כנראה, בגלל

שהגובה שלם. דרך אגב, התעלמתָ מהנתון הזה. כלומר הגעתָ למשפט נחמד: במשולש, שאורך צלעותיו מספרים שלמים, בסיסי הגבהים מחלקים את הצלעות לחלקים רציונליים!

 

[טלמון סילבר]

איזו מין שעה זאת 5:27?

 

[jaXon]

מתימטיקה עוזרת לפתור בעיות שינה

 

[jaXon]

עוד חידה קטנה

חידונת שהמצאתי : נניח שיש שעון בעל מחוג אחד שמשלים סיבוב בדקה ומחוג שני שמשלים סיבוב בשורש שתיים דקות. שניהם מתחילים מאותה נקודה ונעים באותו כיוון. האם יחזרו להפגש באותה נקודה? האם בכלל יהיו נקודות מפגש שיחזרו על עצמן? האם אוסף נקודות המפגש (באינסוף זמן) מכסים את כל המעגל?

 

[טלמון סילבר]

כל הנקודות שונות, האוסף שלהן בר-

מנייה בלבד, אבל "צפוף" בכל המעגל. כמו בחידה מאולימפיאדת HANANDN האם תמיד קיימת חזקה טבעית של 2, שספרותיה הראשונות משמאל (בבסיס עשרוני) שוות למחרוזת עשרונית נתונה?

 

[jaXon]

יפה!

נכון, זו גם האבחנה שאני הגעתי אליה. אני אנסה גם להבין את הקשר לחידה שהזכרת מהאולימפיאדה.