אינטגרציה בחלקים

[amih77]

אינטגרציה בחלקים

שלום, האם זה נכון, ואם כן מדוע ש-
integral from 0 to 1 y dx = 1 - integral from 0 to 1 x dy

?

 

[אורי769]

תשובה

כדי שהטענה תהיה נכונה צריך שייתקיימו כמה תנאים:
[f : [0,1] -> [0,1 היא חח"ע ועל ורצוי גם רציפה (כלומר, צריך תנאי שיגרור אינטגרביליות של f ושל ההפוך של f).
במקרה זה אכן
integral (0 to 1) of ydx + integral (0 to 1) of xdy = 1
ניתן להוכיח את זה פורמלית בקלות עם אינטגרציה בחלקים, ע"י בחירה (u = f(x ו-v' = 1. צריך גם לשים לב ש-dy = f'(x)dx.
אפשר גם להבין אינטואיטיבית למה זה נכון בעזרת השרטוט המצורף